微分積分学準備例

$\ln (x + 1) - \ln (x) = 2$

ステップ 1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$\ln (x + 1) - \ln (x) - 2 = 0$

ステップ 2

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\ln (\frac{x + 1}{x}) - 2 = 0$

ステップ 3

方程式の両辺に $2$ を足します。

$\ln (\frac{x + 1}{x}) = 2$

ステップ 4

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{x + 1}{x})} = e^{2}$

ステップ 5

対数の定義を利用して $\ln (\frac{x + 1}{x}) = 2$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{2} = \frac{x + 1}{x}$

ステップ 6

$x$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $\frac{x + 1}{x} = e^{2}$ として書き換えます。

$\frac{x + 1}{x} = e^{2}$

ステップ 6.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 6.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x, 1$

ステップ 6.2.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x$

ステップ 6.3

$\frac{x + 1}{x} = e^{2}$ の各項に $x$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 6.3.1

$\frac{x + 1}{x} = e^{2}$ の各項に $x$ を掛けます。

$\frac{x + 1}{x} x = e^{2} x$

ステップ 6.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x + 1}{x} x = e^{2} x$

ステップ 6.3.2.1.2

式を書き換えます。

$x + 1 = e^{2} x$

ステップ 6.4

方程式を解きます。

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ステップ 6.4.1

方程式の両辺から $e^{2} x$ を引きます。

$x + 1 - e^{2} x = 0$

ステップ 6.4.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x - e^{2} x = - 1$

ステップ 6.4.3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 6.4.3.1

$x$ を $x - e^{2} x$ で因数分解します。

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ステップ 6.4.3.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$x - e^{2} x = - 1$

ステップ 6.4.3.1.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$x \cdot 1 - e^{2} x = - 1$

ステップ 6.4.3.1.3

$x$ を $- e^{2} x$ で因数分解します。

$x \cdot 1 + x (- e^{2}) = - 1$

ステップ 6.4.3.1.4

$x$ を $x \cdot 1 + x (- e^{2})$ で因数分解します。

$x (1 - e^{2}) = - 1$

ステップ 6.4.3.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x (1^{2} - e^{2}) = - 1$

ステップ 6.4.3.3

因数分解。

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ステップ 6.4.3.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = e$ です。

$x ((1 + e) (1 - e)) = - 1$

ステップ 6.4.3.3.2

不要な括弧を削除します。

$x (1 + e) (1 - e) = - 1$

ステップ 6.4.4

$x (1 + e) (1 - e) = - 1$ の各項を $1 - e^{2}$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.4.4.1

$x (1 + e) (1 - e) = - 1$ の各項を $1 - e^{2}$ で割ります。

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{1 - e^{2}} = \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

ステップ 6.4.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.4.4.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 6.4.4.2.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{1^{2} - e^{2}} = \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

ステップ 6.4.4.2.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = e$ です。

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{(1 + e) (1 - e)} = \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

ステップ 6.4.4.2.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 6.4.4.2.2.1

$1 + e$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x (1 + e) (1 - e)}{(1 + e) (1 - e)} = \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

ステップ 6.4.4.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x (1 - e)}{1 - e} = \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

ステップ 6.4.4.2.2.2

$1 - e$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.4.4.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x (1 - e)}{1 - e} = \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

ステップ 6.4.4.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{1 - e^{2}}$

ステップ 6.4.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.4.4.3.1

分母を簡約します。

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ステップ 6.4.4.3.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1}{1^{2} - e^{2}}$

ステップ 6.4.4.3.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = e$ です。

$x = \frac{- 1}{(1 + e) (1 - e)}$

ステップ 6.4.4.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1}{(1 + e) (1 - e)}$

微分積分学準備 例

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