微分積分学準備例

$\ln (x - 1) + \ln (x + 2) = 1$

ステップ 1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\ln (x - 1) + \ln (x + 2) - 1 = 0$

ステップ 2

$\ln (x - 1) + \ln (x + 2) - 1$ を簡約します。

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ステップ 2.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln ((x - 1) (x + 2)) - 1 = 0$

ステップ 2.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x + 2)$ を展開します。

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ステップ 2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$\ln (x (x + 2) - 1 (x + 2)) - 1 = 0$

ステップ 2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$\ln (x \cdot x + x \cdot 2 - 1 (x + 2)) - 1 = 0$

ステップ 2.2.1.3

分配則を当てはめます。

$\ln (x \cdot x + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) - 1 = 0$

ステップ 2.2.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\ln (x^{2} + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2) - 1 = 0$

ステップ 2.2.2.1.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\ln (x^{2} + 2 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 2) - 1 = 0$

ステップ 2.2.2.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\ln (x^{2} + 2 x - x - 1 \cdot 2) - 1 = 0$

ステップ 2.2.2.1.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\ln (x^{2} + 2 x - x - 2) - 1 = 0$

ステップ 2.2.2.2

$2 x$ から $x$ を引きます。

$\ln (x^{2} + x - 2) - 1 = 0$

ステップ 3

方程式の両辺に $1$ を足します。

$\ln (x^{2} + x - 2) = 1$

ステップ 4

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x^{2} + x - 2)} = e^{1}$

ステップ 5

対数の定義を利用して $\ln (x^{2} + x - 2) = 1$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{1} = x^{2} + x - 2$

ステップ 6

$x$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式を $x^{2} + x - 2 = e^{1}$ として書き換えます。

$x^{2} + x - 2 = e$

ステップ 6.2

方程式の両辺から $e$ を引きます。

$x^{2} + x - 2 - e = 0$

ステップ 6.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 6.4

$a = 1$ 、 $b = 1$ 、および $c = - 2 - e$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 2 - e))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5

簡約します。

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ステップ 6.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.5.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 - e)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 2 - e)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5.1.3

分配則を当てはめます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 2 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5.1.4

$- 4$ に $- 2$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5.1.5

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5.1.6

$1$ と $8$ をたし算します。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{9 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

ステップ 6.6

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 6.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.6.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 - e)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.6.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 2 - e)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.6.1.3

分配則を当てはめます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 2 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.6.1.4

$- 4$ に $- 2$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.6.1.5

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.6.1.6

$1$ と $8$ をたし算します。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{9 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

ステップ 6.6.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{- 1 + \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

ステップ 6.6.4

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

ステップ 6.6.5

$- 1$ を $\sqrt{9 + 4 e}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{9 + 4 e})}{2}$

ステップ 6.6.6

$- 1$ を $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{9 + 4 e})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (1 - \sqrt{9 + 4 e})}{2}$

ステップ 6.6.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1 - \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

ステップ 6.7

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 6.7.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.7.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot (- 2 - e)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.1.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot (- 2 - e)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.1.3

分配則を当てはめます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 2 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.1.4

$- 4$ に $- 2$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 - 4 (- e)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.1.5

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 8 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.1.6

$1$ と $8$ をたし算します。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{9 + 4 e}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.7.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

ステップ 6.7.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{- 1 - \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

ステップ 6.7.4

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

ステップ 6.7.5

$- 1$ を $- \sqrt{9 + 4 e}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{9 + 4 e})}{2}$

ステップ 6.7.6

$- 1$ を $- 1 (1) - (\sqrt{9 + 4 e})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (1 + \sqrt{9 + 4 e})}{2}$

ステップ 6.7.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1 + \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

ステップ 6.8

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{1 - \sqrt{9 + 4 e}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = - \frac{1 - \sqrt{9 + 4 e}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{9 + 4 e}}{2}$

10進法形式：

$x = 1.72896429 \dots, - 2.72896429 \dots$

微分積分学準備 例

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