微分積分学準備例

$\cos (2 x) + \cos (4 x) = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

2倍角の公式を利用して $\cos (2 x)$ を $2 \cos^{2} (x) - 1$ に変換します。

$2 \cos^{2} (x) - 1 + \cos (4 x) = 0$

ステップ 1.1.2

$2$ を $4 x$ で因数分解します。

$2 \cos^{2} (x) - 1 + \cos (2 (2 x)) = 0$

ステップ 1.1.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

2倍角の公式を利用して $\cos (2 x)$ を $2 \cos^{2} (x) - 1$ に変換します。

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 {(2 \cos^{2} (x) - 1)}^{2} - 1 = 0$

ステップ 1.1.3.2

${(2 \cos^{2} (x) - 1)}^{2}$ を $(2 \cos^{2} (x) - 1) (2 \cos^{2} (x) - 1)$ に書き換えます。

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 ((2 \cos^{2} (x) - 1) (2 \cos^{2} (x) - 1)) - 1 = 0$

ステップ 1.1.3.3

分配法則（FOIL法）を使って $(2 \cos^{2} (x) - 1) (2 \cos^{2} (x) - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

分配則を当てはめます。

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x) - 1) - 1 (2 \cos^{2} (x) - 1)) - 1 = 0$

ステップ 1.1.3.3.2

分配則を当てはめます。

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x) - 1)) - 1 = 0$

ステップ 1.1.3.3.3

分配則を当てはめます。

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

ステップ 1.1.3.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.4.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cdot (2 \cos^{2} (x) \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

ステップ 1.1.3.4.1.2

指数を足して $\cos^{2} (x)$ に $\cos^{2} (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.4.1.2.1

$\cos^{2} (x)$ を移動させます。

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cdot (2 (\cos^{2} (x) \cos^{2} (x))) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

ステップ 1.1.3.4.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cdot (2 {\cos (x)}^{2 + 2}) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

ステップ 1.1.3.4.1.2.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (2 \cdot (2 \cos^{4} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

ステップ 1.1.3.4.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

ステップ 1.1.3.4.1.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

ステップ 1.1.3.4.1.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 1 \cdot - 1) - 1 = 0$

ステップ 1.1.3.4.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 1) - 1 = 0$

ステップ 1.1.3.4.2

$- 2 \cos^{2} (x)$ から $2 \cos^{2} (x)$ を引きます。

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x) - 4 \cos^{2} (x) + 1) - 1 = 0$

ステップ 1.1.3.5

分配則を当てはめます。

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 2 (4 \cos^{4} (x)) + 2 (- 4 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot 1 - 1 = 0$

ステップ 1.1.3.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.6.1

$4$ に $2$ をかけます。

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 8 \cos^{4} (x) + 2 (- 4 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot 1 - 1 = 0$

ステップ 1.1.3.6.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 2 \cdot 1 - 1 = 0$

ステップ 1.1.3.6.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 2 - 1 = 0$

ステップ 1.1.4

$2$ から $1$ を引きます。

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

ステップ 1.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$2 \cos^{2} (x) - 1 + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 1.2.1.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$2 \cos^{2} (x) + 0 + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 1.2.1.2

$2 \cos^{2} (x)$ と $0$ をたし算します。

$2 \cos^{2} (x) + 8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 1.2.2

$2 \cos^{2} (x)$ から $8 \cos^{2} (x)$ を引きます。

$- 6 \cos^{2} (x) + 8 \cos^{4} (x) = 0$

ステップ 2

$2 \cos^{2} (x)$ を $- 6 \cos^{2} (x) + 8 \cos^{4} (x)$ で因数分解します。

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ステップ 2.1

$2 \cos^{2} (x)$ を $- 6 \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$2 \cos^{2} (x) \cdot - 3 + 8 \cos^{4} (x) = 0$

ステップ 2.2

$2 \cos^{2} (x)$ を $8 \cos^{4} (x)$ で因数分解します。

$2 \cos^{2} (x) \cdot - 3 + 2 \cos^{2} (x) (4 \cos^{2} (x)) = 0$

ステップ 2.3

$2 \cos^{2} (x)$ を $2 \cos^{2} (x) \cdot - 3 + 2 \cos^{2} (x) (4 \cos^{2} (x))$ で因数分解します。

$2 \cos^{2} (x) (- 3 + 4 \cos^{2} (x)) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\cos^{2} (x) = 0$

$- 3 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 4

$\cos^{2} (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$\cos^{2} (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\cos^{2} (x) = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $\cos^{2} (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{0}$

ステップ 4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\cos (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\cos (x) = \pm 0$

ステップ 4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$\cos (x) = 0$

ステップ 4.2.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (0)$

ステップ 4.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.4.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.5

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.6

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.6.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.6.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 4.2.6.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.6.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 4.2.6.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 4.2.7

$\cos (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 4.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 4.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 4.2.8

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

$- 3 + 4 \cos^{2} (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$- 3 + 4 \cos^{2} (x)$ が $0$ に等しいとします。

$- 3 + 4 \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $- 3 + 4 \cos^{2} (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$4 \cos^{2} (x) = 3$

ステップ 5.2.2

$4 \cos^{2} (x) = 3$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$4 \cos^{2} (x) = 3$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 \cos^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

ステップ 5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cos^{2} (x)}{4} = \frac{3}{4}$

ステップ 5.2.2.2.1.2

$\cos^{2} (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos^{2} (x) = \frac{3}{4}$

ステップ 5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

ステップ 5.2.4

$\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$\sqrt{\frac{3}{4}}$ を $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

ステップ 5.2.4.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

ステップ 5.2.4.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 5.2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 5.2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 5.2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 5.2.6

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 5.2.7

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.7.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 5.2.7.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.7.2.1

$\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{6}$ です。

$x = \frac{π}{6}$

ステップ 5.2.7.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

ステップ 5.2.7.4

$2 π - \frac{π}{6}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.7.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 5.2.7.4.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.7.4.2.1

$2 π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 5.2.7.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

ステップ 5.2.7.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.7.4.3.1

$6$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{12 π - π}{6}$

ステップ 5.2.7.4.3.2

$12 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{11 π}{6}$

ステップ 5.2.7.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.7.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 5.2.7.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.7.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 5.2.7.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 5.2.7.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5.2.8

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.8.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 5.2.8.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.8.2.1

$\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ の厳密値は $\frac{5 π}{6}$ です。

$x = \frac{5 π}{6}$

ステップ 5.2.8.3

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

ステップ 5.2.8.4

$2 π - \frac{5 π}{6}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.8.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

ステップ 5.2.8.4.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.8.4.2.1

$2 π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

ステップ 5.2.8.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

ステップ 5.2.8.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.8.4.3.1

$6$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

ステップ 5.2.8.4.3.2

$12 π$ から $5 π$ を引きます。

$x = \frac{7 π}{6}$

ステップ 5.2.8.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.8.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 5.2.8.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.8.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 5.2.8.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 5.2.8.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5.2.9

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5.2.10

解をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.10.1

$\frac{7 π}{6} + 2 π n$ と $\frac{π}{6} + π n$ を $\frac{π}{6} + 2 π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5.2.10.2

$\frac{5 π}{6} + 2 π n$ と $\frac{5 π}{6} + π n$ を $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

最終解は $2 \cos^{2} (x) (- 3 + 4 \cos^{2} (x)) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

答えをまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$\frac{3 π}{2} + 2 π n$ と $\frac{π}{2} + π n$ を $\frac{π}{2} + 2 π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7.2

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

微分積分学準備 例

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