微分積分学準備例

$\tan^{2} (x) = \frac{3}{2} \cdot \sec (x)$

ステップ 1

方程式の両辺から $\frac{3}{2} \cdot \sec (x)$ を引きます。

$\tan^{2} (x) - \frac{3}{2} \cdot \sec (x) = 0$

ステップ 2

各項を簡約します。

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ステップ 2.1

$\sec (x)$ と $\frac{3}{2}$ をまとめます。

$\tan^{2} (x) - \frac{\sec (x) \cdot 3}{2} = 0$

ステップ 2.2

$3$ を $\sec (x)$ の左に移動させます。

$\tan^{2} (x) - \frac{3 \sec (x)}{2} = 0$

ステップ 3

$\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ 恒等式に基づいて $\tan^{2} (x)$ を $\sec^{2} (x) - 1$ で置き換えます。

$(\sec^{2} (x) - 1) - \frac{3 \sec (x)}{2} = 0$

ステップ 4

多項式を並べ替えます。

$\sec^{2} (x) - \frac{3 \sec (x)}{2} - 1 = 0$

ステップ 5

$u$ を $\sec (x)$ に代入します。

${(u)}^{2} - \frac{3 (u)}{2} - 1 = 0$

ステップ 6

両辺に最小公分母 $2$ を掛け、次に簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$2 u^{2} + 2 (- \frac{3 u}{2}) + 2 \cdot - 1 = 0$

ステップ 6.2

簡約します。

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ステップ 6.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.1

$- \frac{3 u}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$2 u^{2} + 2 \frac{- 3 u}{2} + 2 \cdot - 1 = 0$

ステップ 6.2.1.2

共通因数を約分します。

$2 u^{2} + 2 \frac{- 3 u}{2} + 2 \cdot - 1 = 0$

ステップ 6.2.1.3

式を書き換えます。

$2 u^{2} - 3 u + 2 \cdot - 1 = 0$

ステップ 6.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 u^{2} - 3 u - 2 = 0$

ステップ 7

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 8

$a = 2$ 、 $b = - 3$ 、および $c = - 2$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 9.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ を掛けます。

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ステップ 9.1.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 9.1.2.2

$- 8$ に $- 2$ をかけます。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2 \cdot 2}$

ステップ 9.1.3

$9$ と $16$ をたし算します。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$

ステップ 9.1.4

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5^{2}}}{2 \cdot 2}$

ステップ 9.1.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$u = \frac{3 \pm 5}{2 \cdot 2}$

ステップ 9.2

$2$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{3 \pm 5}{4}$

ステップ 10

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 10.1

分子を簡約します。

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ステップ 10.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 10.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ を掛けます。

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ステップ 10.1.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 10.1.2.2

$- 8$ に $- 2$ をかけます。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2 \cdot 2}$

ステップ 10.1.3

$9$ と $16$ をたし算します。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$

ステップ 10.1.4

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5^{2}}}{2 \cdot 2}$

ステップ 10.1.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$u = \frac{3 \pm 5}{2 \cdot 2}$

ステップ 10.2

$2$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{3 \pm 5}{4}$

ステップ 10.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$u = \frac{3 + 5}{4}$

ステップ 10.4

$3$ と $5$ をたし算します。

$u = \frac{8}{4}$

ステップ 10.5

$8$ を $4$ で割ります。

$u = 2$

ステップ 11

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 11.1

分子を簡約します。

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ステップ 11.1.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 11.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ を掛けます。

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ステップ 11.1.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

ステップ 11.1.2.2

$- 8$ に $- 2$ をかけます。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2 \cdot 2}$

ステップ 11.1.3

$9$ と $16$ をたし算します。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$

ステップ 11.1.4

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5^{2}}}{2 \cdot 2}$

ステップ 11.1.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$u = \frac{3 \pm 5}{2 \cdot 2}$

ステップ 11.2

$2$ に $2$ をかけます。

$u = \frac{3 \pm 5}{4}$

ステップ 11.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$u = \frac{3 - 5}{4}$

ステップ 11.4

$3$ から $5$ を引きます。

$u = \frac{- 2}{4}$

ステップ 11.5

$- 2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.5.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$u = \frac{2 (- 1)}{4}$

ステップ 11.5.2

共通因数を約分します。

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ステップ 11.5.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$u = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

ステップ 11.5.2.2

共通因数を約分します。

$u = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

ステップ 11.5.2.3

式を書き換えます。

$u = \frac{- 1}{2}$

ステップ 11.6

分数の前に負数を移動させます。

$u = - \frac{1}{2}$

ステップ 12

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = 2, - \frac{1}{2}$

ステップ 13

$\sec (x)$ を $u$ に代入します。

$\sec (x) = 2, - \frac{1}{2}$

ステップ 14

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sec (x) = 2$

$\sec (x) = - \frac{1}{2}$

ステップ 15

$\sec (x) = 2$ の $x$ について解きます。

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ステップ 15.1

方程式の両辺の逆正割をとり、正割の中から $x$ を取り出します。

$x = arcsec (2)$

ステップ 15.2

右辺を簡約します。

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ステップ 15.2.1

$arcsec (2)$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$x = \frac{π}{3}$

ステップ 15.3

正割関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

ステップ 15.4

$2 π - \frac{π}{3}$ を簡約します。

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ステップ 15.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 15.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 15.4.2.1

$2 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 15.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 15.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 15.4.3.1

$3$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{6 π - π}{3}$

ステップ 15.4.3.2

$6 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{5 π}{3}$

ステップ 15.5

$\sec (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 15.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 15.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 15.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 15.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 15.6

$\sec (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 16

$\sec (x) = - \frac{1}{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 16.1

割線の値域は $y \leq - 1$ と $y \geq 1$ です。 $- \frac{1}{2}$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 17

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

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