微分積分学準備例

$\sin^{2} (x) - 2 \sin (x) = 3$

ステップ 1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$\sin^{2} (x) - 2 \sin (x) - 3 = 0$

ステップ 2

$u = \sin (x)$ とします。 $u$ を $\sin (x)$ に代入します。

$u^{2} - 2 u - 3 = 0$

ステップ 3

たすき掛けを利用して $u^{2} - 2 u - 3$ を因数分解します。

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ステップ 3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 3$ で、その和が $- 2$ です。

$- 3, 1$

ステップ 3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 3) (u + 1) = 0$

ステップ 4

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$(\sin (x) - 3) (\sin (x) + 1) = 0$

ステップ 5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\sin (x) - 3 = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

ステップ 6

$\sin (x) - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$\sin (x) - 3$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (x) - 3 = 0$

ステップ 6.2

$x$ について $\sin (x) - 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$\sin (x) = 3$

ステップ 6.2.2

正弦の値域は $- 1 \leq y \leq 1$ です。 $3$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 7

$\sin (x) + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.1

$\sin (x) + 1$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (x) + 1 = 0$

ステップ 7.2

$x$ について $\sin (x) + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 7.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\sin (x) = - 1$

ステップ 7.2.2

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (- 1)$

ステップ 7.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.3.1

$\arcsin (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{2}$ です。

$x = - \frac{π}{2}$

ステップ 7.2.4

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

ステップ 7.2.5

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 7.2.5.1

$2 π + \frac{π}{2} + π$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

ステップ 7.2.5.2

$\frac{3 π}{2}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{2} + π$ と隣接します。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 7.2.6

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 7.2.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 7.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 7.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 7.2.6.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 7.2.7

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 7.2.7.1

$2 π$ を $- \frac{π}{2}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{2} + 2 π$

ステップ 7.2.7.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 7.2.7.3

分数をまとめます。

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ステップ 7.2.7.3.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 7.2.7.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 7.2.7.4

分子を簡約します。

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ステップ 7.2.7.4.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 π - π}{2}$

ステップ 7.2.7.4.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{3 π}{2}$

ステップ 7.2.7.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 7.2.8

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

最終解は $(\sin (x) - 3) (\sin (x) + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

微分積分学準備 例

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