微分積分学準備例

$\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x) = \sec^{2} (x) \cdot \csc^{2} (x)$

ステップ 1

方程式の両辺から $\sec^{2} (x) \cdot \csc^{2} (x)$ を引きます。

$\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) \cdot \csc^{2} (x) = 0$

ステップ 2

$\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ 恒等式に基づいて $\sec^{2} (x)$ を $1 + \tan^{2} (x)$ で置き換えます。

$(1 + \tan^{2} (x)) + \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) \cdot \csc^{2} (x) = 0$

ステップ 3

$- \sec^{2} (x)$ に $\csc^{2} (x)$ をかけます。

$1 + \tan^{2} (x) + \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) \csc^{2} (x) = 0$

ステップ 4

左辺を簡約します。

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ステップ 4.1

$1 + \tan^{2} (x) + \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) \csc^{2} (x)$ を簡約します。

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ステップ 4.1.1

項を並べ替えます。

$\tan^{2} (x) + 1 + \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) \csc^{2} (x) = 0$

ステップ 4.1.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\sec^{2} (x) + \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x) \csc^{2} (x) = 0$

ステップ 4.1.3

くくりだして簡約します。

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ステップ 4.1.3.1

$- \sec^{2} (x) \csc^{2} (x)$ を移動させます。

$\sec^{2} (x) - \sec^{2} (x) \csc^{2} (x) + \csc^{2} (x) = 0$

ステップ 4.1.3.2

$- \sec^{2} (x)$ を $\sec^{2} (x)$ で因数分解します。

$- \sec^{2} (x) \cdot - 1 - \sec^{2} (x) \csc^{2} (x) + \csc^{2} (x) = 0$

ステップ 4.1.3.3

$- \sec^{2} (x)$ を $- \sec^{2} (x) \csc^{2} (x)$ で因数分解します。

$- \sec^{2} (x) \cdot - 1 - \sec^{2} (x) (\csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) = 0$

ステップ 4.1.3.4

$- \sec^{2} (x)$ を $- \sec^{2} (x) \cdot - 1 - \sec^{2} (x) (\csc^{2} (x))$ で因数分解します。

$- \sec^{2} (x) \cdot (- 1 + \csc^{2} (x)) + \csc^{2} (x) = 0$

ステップ 4.1.4

項を並べ替えます。

$- \sec^{2} (x) \cdot (\csc^{2} (x) - 1) + \csc^{2} (x) = 0$

ステップ 4.1.5

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$- \sec^{2} (x) \cdot \cot^{2} (x) + \csc^{2} (x) = 0$

ステップ 4.1.6

式を簡約します。

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ステップ 4.1.6.1

$\sec^{2} (x) \cdot \cot^{2} (x)$ を ${(\sec (x) \cot (x))}^{2}$ に書き換えます。

$- {(\sec (x) \cot (x))}^{2} + \csc^{2} (x) = 0$

ステップ 4.1.6.2

$- {(\sec (x) \cot (x))}^{2}$ と $\csc^{2} (x)$ を並べ替えます。

$\csc^{2} (x) - {(\sec (x) \cot (x))}^{2} = 0$

ステップ 4.1.7

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \csc (x)$ であり、 $b = \sec (x) \cot (x)$ です。

$(\csc (x) + \sec (x) \cot (x)) (\csc (x) - (\sec (x) \cot (x))) = 0$

ステップ 4.1.8

項を簡約します。

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ステップ 4.1.8.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.8.1.1

正弦と余弦について書き換え、次に共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.8.1.1.1

$\sec (x)$ と $\cot (x)$ を並べ替えます。

$(\csc (x) + \cot (x) \sec (x)) (\csc (x) - (\sec (x) \cot (x))) = 0$

ステップ 4.1.8.1.1.2

正弦と余弦に関して $\sec (x) \cot (x)$ を書き換えます。

$(\csc (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) (\csc (x) - (\sec (x) \cot (x))) = 0$

ステップ 4.1.8.1.1.3

共通因数を約分します。

$(\csc (x) + \frac{1}{\sin (x)}) (\csc (x) - (\sec (x) \cot (x))) = 0$

ステップ 4.1.8.1.2

$\frac{1}{\sin (x)}$ を $\csc (x)$ に変換します。

$(\csc (x) + \csc (x)) (\csc (x) - (\sec (x) \cot (x))) = 0$

ステップ 4.1.8.2

$\csc (x)$ と $\csc (x)$ をたし算します。

$2 \csc (x) (\csc (x) - (\sec (x) \cot (x))) = 0$

ステップ 4.1.8.3

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.8.3.1

正弦と余弦について書き換え、次に共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.8.3.1.1

$\sec (x)$ と $\cot (x)$ を並べ替えます。

$2 \csc (x) (\csc (x) - (\cot (x) \sec (x))) = 0$

ステップ 4.1.8.3.1.2

正弦と余弦に関して $- (\sec (x) \cot (x))$ を書き換えます。

$2 \csc (x) (\csc (x) - (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)})) = 0$

ステップ 4.1.8.3.1.3

共通因数を約分します。

$2 \csc (x) (\csc (x) - \frac{1}{\sin (x)}) = 0$

ステップ 4.1.8.3.2

$\frac{1}{\sin (x)}$ を $\csc (x)$ に変換します。

$2 \csc (x) (\csc (x) - \csc (x)) = 0$

ステップ 4.1.8.4

$\csc (x)$ から $\csc (x)$ を引きます。

$2 \csc (x) \cdot 0 = 0$

ステップ 4.1.9

$2 \csc (x) \cdot 0$ を掛けます。

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ステップ 4.1.9.1

$0$ に $2$ をかけます。

$0 \csc (x) = 0$

ステップ 4.1.9.2

$0$ に $\csc (x)$ をかけます。

$0 = 0$

ステップ 5

$0 = 0$ なので、方程式は常に真になります。

常に真

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