微分積分学準備例

$\log_{5} (x + 4) + \log_{5} (x - 4) = 2$

ステップ 1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$\log_{5} (x + 4) + \log_{5} (x - 4) - 2 = 0$

ステップ 2

$\log_{5} (x + 4) + \log_{5} (x - 4) - 2$ を簡約します。

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ステップ 2.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\log_{5} ((x + 4) (x - 4)) - 2 = 0$

ステップ 2.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 4) (x - 4)$ を展開します。

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ステップ 2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$\log_{5} (x (x - 4) + 4 (x - 4)) - 2 = 0$

ステップ 2.2.1.2

分配則を当てはめます。

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x - 4)) - 2 = 0$

ステップ 2.2.1.3

分配則を当てはめます。

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4) - 2 = 0$

ステップ 2.2.2

$x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 2.2.2.1

$x \cdot - 4$ と $4 x$ について因数を並べ替えます。

$\log_{5} (x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4) - 2 = 0$

ステップ 2.2.2.2

$- 4 x$ と $4 x$ をたし算します。

$\log_{5} (x \cdot x + 0 + 4 \cdot - 4) - 2 = 0$

ステップ 2.2.2.3

$x \cdot x$ と $0$ をたし算します。

$\log_{5} (x \cdot x + 4 \cdot - 4) - 2 = 0$

ステップ 2.2.3

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\log_{5} (x^{2} + 4 \cdot - 4) - 2 = 0$

ステップ 2.2.3.2

$4$ に $- 4$ をかけます。

$\log_{5} (x^{2} - 16) - 2 = 0$

ステップ 3

方程式の両辺に $2$ を足します。

$\log_{5} (x^{2} - 16) = 2$

ステップ 4

対数の定義を利用して $\log_{5} (x^{2} - 16) = 2$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$5^{2} = x^{2} - 16$

ステップ 5

$x$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $x^{2} - 16 = 5^{2}$ として書き換えます。

$x^{2} - 16 = 5^{2}$

ステップ 5.2

$5$ を $2$ 乗します。

$x^{2} - 16 = 25$

ステップ 5.3

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 5.3.1

方程式の両辺に $16$ を足します。

$x^{2} = 25 + 16$

ステップ 5.3.2

$25$ と $16$ をたし算します。

$x^{2} = 41$

ステップ 5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{41}$

ステップ 5.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{41}$

ステップ 5.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{41}$

ステップ 5.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{41}, - \sqrt{41}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \sqrt{41}, - \sqrt{41}$

10進法形式：

$x = 6.40312423 \dots, - 6.40312423 \dots$

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