微分積分学準備例

$25^{x} - 8 \cdot 5^{x} = - 16$

ステップ 1

方程式の両辺に $16$ を足します。

$25^{x} - 8 \cdot 5^{x} + 16 = 0$

ステップ 2

$25^{x}$ を ${(5^{2})}^{x}$ に書き換えます。

${(5^{2})}^{x} - 8 \cdot 5^{x} + 16 = 0$

ステップ 3

${(5^{2})}^{x}$ を ${(5^{x})}^{2}$ に書き換えます。

${(5^{x})}^{2} - 8 \cdot 5^{x} + 16 = 0$

ステップ 4

$u = 5^{x}$ とします。 $u$ を $5^{x}$ に代入します。

$u^{2} - 8 u + 16 = 0$

ステップ 5

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 5.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$u^{2} - 8 u + 4^{2} = 0$

ステップ 5.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

ステップ 5.3

多項式を書き換えます。

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2} = 0$

ステップ 5.4

$a = u$ と $b = 4$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(u - 4)}^{2} = 0$

ステップ 6

$u$ のすべての発生を $5^{x}$ で置き換えます。

${(5^{x} - 4)}^{2} = 0$

ステップ 7

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$5^{x} - 4 = \pm \sqrt{0}$

ステップ 8

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 8.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$5^{x} - 4 = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 8.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$5^{x} - 4 = \pm 0$

ステップ 8.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$5^{x} - 4 = 0$

ステップ 9

方程式の両辺に $4$ を足します。

$5^{x} = 4$

ステップ 10

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (5^{x}) = \ln (4)$

ステップ 11

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (5^{x})$ を展開します。

$x \ln (5) = \ln (4)$

ステップ 12

$x \ln (5) = \ln (4)$ の各項を $\ln (5)$ で割り、簡約します。

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ステップ 12.1

$x \ln (5) = \ln (4)$ の各項を $\ln (5)$ で割ります。

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

ステップ 12.2

左辺を簡約します。

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ステップ 12.2.1

$\ln (5)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

ステップ 12.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\ln (4)}{\ln (5)}$

微分積分学準備 例

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