微分積分学準備例

${(m^{2} - 1)}^{2} - 11 (m^{2} - 1) + 24 = 0$

ステップ 1

$u = m^{2} - 1$ とします。 $u$ を $m^{2} - 1$ に代入します。

$u^{2} - 11 u + 24 = 0$

ステップ 2

たすき掛けを利用して $u^{2} - 11 u + 24$ を因数分解します。

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ステップ 2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $24$ で、その和が $- 11$ です。

$- 8, - 3$

ステップ 2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 8) (u - 3) = 0$

ステップ 3

$u$ のすべての発生を $m^{2} - 1$ で置き換えます。

$(m^{2} - 1 - 8) (m^{2} - 1 - 3) = 0$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

$- 1$ から $8$ を引きます。

$(m^{2} - 9) (m^{2} - 1 - 3) = 0$

ステップ 4.2

$- 1$ から $3$ を引きます。

$(m^{2} - 9) (m^{2} - 4) = 0$

ステップ 5

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$(m^{2} - 3^{2}) (m^{2} - 4) = 0$

ステップ 6

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = m$ であり、 $b = 3$ です。

$(m + 3) (m - 3) (m^{2} - 4) = 0$

ステップ 7

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$(m + 3) (m - 3) (m^{2} - 2^{2}) = 0$

ステップ 8

因数分解。

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ステップ 8.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = m$ であり、 $b = 2$ です。

$(m + 3) (m - 3) ((m + 2) (m - 2)) = 0$

ステップ 8.2

不要な括弧を削除します。

$(m + 3) (m - 3) (m + 2) (m - 2) = 0$

ステップ 9

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$m + 3 = 0$

$m - 3 = 0$

$m + 2 = 0$

$m - 2 = 0$

ステップ 10

$m + 3$ を $0$ に等しくし、 $m$ を解きます。

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ステップ 10.1

$m + 3$ が $0$ に等しいとします。

$m + 3 = 0$

ステップ 10.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$m = - 3$

ステップ 11

$m - 3$ を $0$ に等しくし、 $m$ を解きます。

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ステップ 11.1

$m - 3$ が $0$ に等しいとします。

$m - 3 = 0$

ステップ 11.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$m = 3$

ステップ 12

$m + 2$ を $0$ に等しくし、 $m$ を解きます。

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ステップ 12.1

$m + 2$ が $0$ に等しいとします。

$m + 2 = 0$

ステップ 12.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$m = - 2$

ステップ 13

$m - 2$ を $0$ に等しくし、 $m$ を解きます。

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ステップ 13.1

$m - 2$ が $0$ に等しいとします。

$m - 2 = 0$

ステップ 13.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$m = 2$

ステップ 14

最終解は $(m + 3) (m - 3) (m + 2) (m - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$m = - 3, 3, - 2, 2$

微分積分学準備 例

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