微分積分学準備例

$6 + 6 \sin (x) = 4 \cos^{2} (x)$

ステップ 1

方程式の両辺から $4 \cos^{2} (x)$ を引きます。

$6 + 6 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 2

$2$ を $6 + 6 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$2 (3) + 6 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 2.2

$2$ を $6 \sin (x)$ で因数分解します。

$2 (3) + 2 (3 \sin (x)) - 4 \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 2.3

$2$ を $- 4 \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$2 (3) + 2 (3 \sin (x)) + 2 (- 2 \cos^{2} (x)) = 0$

ステップ 2.4

$2$ を $2 (3) + 2 (3 \sin (x))$ で因数分解します。

$2 (3 + 3 \sin (x)) + 2 (- 2 \cos^{2} (x)) = 0$

ステップ 2.5

$2$ を $2 (3 + 3 \sin (x)) + 2 (- 2 \cos^{2} (x))$ で因数分解します。

$2 (3 + 3 \sin (x) - 2 \cos^{2} (x)) = 0$

ステップ 3

方程式の各項を $\cos (x)$ で割ります。

$\frac{2 (3 + 3 \sin (x) - 2 \cos^{2} (x))}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 4

$\cos (x)$ を分子の同値である式で置き換えます。

$2 (3 + 3 \sin (x) - 2 \cos^{2} (x)) \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 5

括弧を削除します。

$2 (3 + 3 \sin (x) - 2 \cos^{2} (x)) \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 6

分配則を当てはめます。

$(2 \cdot 3 + 2 (3 \sin (x)) + 2 (- 2 \cos^{2} (x))) \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$2$ に $3$ をかけます。

$(6 + 2 (3 \sin (x)) + 2 (- 2 \cos^{2} (x))) \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 7.2

$3$ に $2$ をかけます。

$(6 + 6 \sin (x) + 2 (- 2 \cos^{2} (x))) \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 7.3

$- 2$ に $2$ をかけます。

$(6 + 6 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x)) \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 8

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$(6 + 6 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x)) \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 9

分配則を当てはめます。

$6 (\frac{1}{\cos (x)}) + 6 \sin (x) (\frac{1}{\cos (x)}) - 4 \cos^{2} (x) \frac{1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$6$ と $\frac{1}{\cos (x)}$ をまとめます。

$\frac{6}{\cos (x)} + 6 \sin (x) (\frac{1}{\cos (x)}) - 4 \cos^{2} (x) \frac{1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 10.2

$6 \sin (x) \frac{1}{\cos (x)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

$\frac{1}{\cos (x)}$ と $6$ をまとめます。

$\frac{6}{\cos (x)} + \frac{6}{\cos (x)} \cdot \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) \frac{1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 10.2.2

$\frac{6}{\cos (x)}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$\frac{6}{\cos (x)} + \frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} - 4 \cos^{2} (x) \frac{1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 10.3

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.3.1

$\cos (x)$ を $- 4 \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{6}{\cos (x)} + \frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) (- 4 \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)}) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 10.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{6}{\cos (x)} + \frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) (- 4 \cos (x)) (\frac{1}{\cos (x)}) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 10.3.3

式を書き換えます。

$\frac{6}{\cos (x)} + \frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} - 4 \cos (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 11

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

分数を分解します。

$\frac{6}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} - 4 \cos (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 11.2

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\frac{6}{1} \cdot \sec (x) + \frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} - 4 \cos (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 11.3

$6$ を $1$ で割ります。

$6 \sec (x) + \frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} - 4 \cos (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 11.4

分数を分解します。

$6 \sec (x) + \frac{6}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 4 \cos (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 11.5

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$6 \sec (x) + \frac{6}{1} \cdot \tan (x) - 4 \cos (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 11.6

$6$ を $1$ で割ります。

$6 \sec (x) + 6 \tan (x) - 4 \cos (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 12

分数を分解します。

$6 \sec (x) + 6 \tan (x) - 4 \cos (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 13

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$6 \sec (x) + 6 \tan (x) - 4 \cos (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

ステップ 14

$0$ を $1$ で割ります。

$6 \sec (x) + 6 \tan (x) - 4 \cos (x) = 0 \sec (x)$

ステップ 15

$0$ に $\sec (x)$ をかけます。

$6 \sec (x) + 6 \tan (x) - 4 \cos (x) = 0$

ステップ 16

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1.1

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$6 \frac{1}{\cos (x)} + 6 \tan (x) - 4 \cos (x) = 0$

ステップ 16.1.2

$6$ と $\frac{1}{\cos (x)}$ をまとめます。

$\frac{6}{\cos (x)} + 6 \tan (x) - 4 \cos (x) = 0$

ステップ 16.1.3

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{6}{\cos (x)} + 6 \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 4 \cos (x) = 0$

ステップ 16.1.4

$6$ と $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ をまとめます。

$\frac{6}{\cos (x)} + \frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} - 4 \cos (x) = 0$

ステップ 17

方程式の両辺に $\cos (x)$ を掛けます。

$\cos (x) (\frac{6}{\cos (x)} + \frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} - 4 \cos (x)) = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 18

分配則を当てはめます。

$\cos (x) \frac{6}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) (- 4 \cos (x)) = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 19

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.1.1

共通因数を約分します。

$\cos (x) \frac{6}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) (- 4 \cos (x)) = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 19.1.2

式を書き換えます。

$6 + \cos (x) \frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) (- 4 \cos (x)) = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 19.2

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 19.2.1

共通因数を約分します。

$6 + \cos (x) \frac{6 \sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) (- 4 \cos (x)) = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 19.2.2

式を書き換えます。

$6 + 6 \sin (x) + \cos (x) (- 4 \cos (x)) = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 19.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$6 + 6 \sin (x) - 4 \cos (x) \cos (x) = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 20

$- 4 \cos (x) \cos (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 20.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$6 + 6 \sin (x) - 4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 20.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$6 + 6 \sin (x) - 4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 20.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$6 + 6 \sin (x) - 4 {\cos (x)}^{1 + 1} = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 20.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$6 + 6 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) = \cos (x) \cdot 0$

ステップ 21

$\cos (x)$ に $0$ をかけます。

$6 + 6 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 22

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式に基づいて $- 4 \cos^{2} (x)$ を $- 4 (1 - \sin^{2} (x))$ で置き換えます。

$6 + 6 \sin (x) - 4 (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

ステップ 23

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 23.1

分配則を当てはめます。

$6 + 6 \sin (x) - 4 \cdot 1 - 4 (- \sin^{2} (x)) = 0$

ステップ 23.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$6 + 6 \sin (x) - 4 - 4 (- \sin^{2} (x)) = 0$

ステップ 23.3

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$6 + 6 \sin (x) - 4 + 4 \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 24

$6$ から $4$ を引きます。

$6 \sin (x) + 2 + 4 \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 25

多項式を並べ替えます。

$4 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x) + 2 = 0$

ステップ 26

$u$ を $\sin (x)$ に代入します。

$4 {(u)}^{2} + 6 (u) + 2 = 0$

ステップ 27

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.1

$2$ を $4 u^{2} + 6 u + 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.1.1

$2$ を $4 u^{2}$ で因数分解します。

$2 (2 u^{2}) + 6 u + 2 = 0$

ステップ 27.1.2

$2$ を $6 u$ で因数分解します。

$2 (2 u^{2}) + 2 (3 u) + 2 = 0$

ステップ 27.1.3

$2$ を $2$ で因数分解します。

$2 (2 u^{2}) + 2 (3 u) + 2 (1) = 0$

ステップ 27.1.4

$2$ を $2 (2 u^{2}) + 2 (3 u)$ で因数分解します。

$2 (2 u^{2} + 3 u) + 2 (1) = 0$

ステップ 27.1.5

$2$ を $2 (2 u^{2} + 3 u) + 2 (1)$ で因数分解します。

$2 (2 u^{2} + 3 u + 1) = 0$

ステップ 27.2

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.2.1

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ で和が $b = 3$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 27.2.1.1.1

$3$ を $3 u$ で因数分解します。

$2 (2 u^{2} + 3 u + 1) = 0$

ステップ 27.2.1.1.2

$3$ を $1$ プラス $2$ に書き換える

$2 (2 u^{2} + (1 + 2) u + 1) = 0$

ステップ 27.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$2 (2 u^{2} + 1 u + 2 u + 1) = 0$

ステップ 27.2.1.1.4

$u$ に $1$ をかけます。

$2 (2 u^{2} + u + 2 u + 1) = 0$

ステップ 27.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 27.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$2 (2 u^{2} + u + 2 u + 1) = 0$

ステップ 27.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$2 (u (2 u + 1) + 1 (2 u + 1)) = 0$

ステップ 27.2.1.3

最大公約数 $2 u + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$2 ((2 u + 1) (u + 1)) = 0$

ステップ 27.2.2

不要な括弧を削除します。

$2 (2 u + 1) (u + 1) = 0$

ステップ 28

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 u + 1 = 0$

$u + 1 = 0$

ステップ 29

$2 u + 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 29.1

$2 u + 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 u + 1 = 0$

ステップ 29.2

$u$ について $2 u + 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 29.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 u = - 1$

ステップ 29.2.2

$2 u = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 29.2.2.1

$2 u = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 29.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 29.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 29.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 29.2.2.2.1.2

$u$ を $1$ で割ります。

$u = \frac{- 1}{2}$

ステップ 29.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 29.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$u = - \frac{1}{2}$

ステップ 30

$u + 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 30.1

$u + 1$ が $0$ に等しいとします。

$u + 1 = 0$

ステップ 30.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$u = - 1$

ステップ 31

最終解は $2 (2 u + 1) (u + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = - \frac{1}{2}, - 1$

ステップ 32

$\sin (x)$ を $u$ に代入します。

$\sin (x) = - \frac{1}{2}, - 1$

ステップ 33

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

$\sin (x) = - 1$

ステップ 34

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 34.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

ステップ 34.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 34.2.1

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ の厳密値は $- \frac{π}{6}$ です。

$x = - \frac{π}{6}$

ステップ 34.3

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

ステップ 34.4

式を簡約し、2番目の解を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 34.4.1

$2 π + \frac{π}{6} + π$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

ステップ 34.4.2

$\frac{7 π}{6}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{6} + π$ と隣接します。

$x = \frac{7 π}{6}$

ステップ 34.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 34.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 34.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 34.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 34.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 34.6

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 34.6.1

$2 π$ を $- \frac{π}{6}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{6} + 2 π$

ステップ 34.6.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 34.6.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 34.6.3.1

$2 π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 34.6.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

ステップ 34.6.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 34.6.4.1

$6$ に $2$ をかけます。

$\frac{12 π - π}{6}$

ステップ 34.6.4.2

$12 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{11 π}{6}$

ステップ 34.6.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{11 π}{6}$

ステップ 34.7

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 35

$\sin (x) = - 1$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 35.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (- 1)$

ステップ 35.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 35.2.1

$\arcsin (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{2}$ です。

$x = - \frac{π}{2}$

ステップ 35.3

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

ステップ 35.4

式を簡約し、2番目の解を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 35.4.1

$2 π + \frac{π}{2} + π$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

ステップ 35.4.2

$\frac{3 π}{2}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{2} + π$ と隣接します。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 35.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 35.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 35.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 35.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 35.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 35.6

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 35.6.1

$2 π$ を $- \frac{π}{2}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{2} + 2 π$

ステップ 35.6.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 35.6.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 35.6.3.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 35.6.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 35.6.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 35.6.4.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 π - π}{2}$

ステップ 35.6.4.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{3 π}{2}$

ステップ 35.6.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 35.7

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 36

すべての解をまとめます。

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 37

$\frac{3 π}{2} + 2 π n$ と $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ を $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ にまとめます。

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

微分積分学準備 例

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