微分積分学準備例

$2 y^{2} - y - \frac{1}{2} = 0$

ステップ 1

$2 y^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- y + 2 y^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} = 0$

ステップ 2

$2 y^{2}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$- y + \frac{2 y^{2} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2} = 0$

ステップ 3

公分母の分子をまとめます。

$- y + \frac{2 y^{2} \cdot 2 - 1}{2} = 0$

ステップ 4

分子を簡約します。

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ステップ 4.1

$2$ に $2$ をかけます。

$- y + \frac{4 y^{2} - 1}{2} = 0$

ステップ 4.2

$4 y^{2}$ を ${(2 y)}^{2}$ に書き換えます。

$- y + \frac{{(2 y)}^{2} - 1}{2} = 0$

ステップ 4.3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- y + \frac{{(2 y)}^{2} - 1^{2}}{2} = 0$

ステップ 4.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2 y$ であり、 $b = 1$ です。

$- y + \frac{(2 y + 1) (2 y - 1)}{2} = 0$

ステップ 5

$- y$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$- y \cdot \frac{2}{2} + \frac{(2 y + 1) (2 y - 1)}{2} = 0$

ステップ 6

$- y$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{- y \cdot 2}{2} + \frac{(2 y + 1) (2 y - 1)}{2} = 0$

ステップ 7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- y \cdot 2 + (2 y + 1) (2 y - 1)}{2} = 0$

ステップ 8

分子を簡約します。

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ステップ 8.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 2 y + (2 y + 1) (2 y - 1)}{2} = 0$

ステップ 8.2

分配法則（FOIL法）を使って $(2 y + 1) (2 y - 1)$ を展開します。

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ステップ 8.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y - 1) + 1 (2 y - 1)}{2} = 0$

ステップ 8.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 1 + 1 (2 y - 1)}{2} = 0$

ステップ 8.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y) + 2 y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

ステップ 8.3

$2 y (2 y) + 2 y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 8.3.1

$2 y \cdot - 1$ と $1 (2 y)$ について因数を並べ替えます。

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y) - 1 \cdot (2 y) + 1 \cdot (2 y) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

ステップ 8.3.2

$- 1 \cdot 2 y$ と $1 \cdot 2 y$ をたし算します。

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y) + 0 + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

ステップ 8.3.3

$2 y (2 y)$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 2 y + 2 y (2 y) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

ステップ 8.4

各項を簡約します。

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ステップ 8.4.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- 2 y + 2 \cdot (2 y \cdot y) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

ステップ 8.4.2

指数を足して $y$ に $y$ を掛けます。

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ステップ 8.4.2.1

$y$ を移動させます。

$\frac{- 2 y + 2 \cdot (2 (y \cdot y)) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

ステップ 8.4.2.2

$y$ に $y$ をかけます。

$\frac{- 2 y + 2 \cdot (2 y^{2}) + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

ステップ 8.4.3

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 2 y + 4 y^{2} + 1 \cdot - 1}{2} = 0$

ステップ 8.4.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 2 y + 4 y^{2} - 1}{2} = 0$

ステップ 8.5

項を並べ替えます。

$\frac{4 y^{2} - 2 y - 1}{2} = 0$

ステップ 9

分子を0に等しくします。

$4 y^{2} - 2 y - 1 = 0$

ステップ 10

$y$ について方程式を解きます。

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ステップ 10.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 10.2

$a = 4$ 、 $b = - 2$ 、および $c = - 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 1)}}{2 \cdot 4}$

ステップ 10.3

簡約します。

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ステップ 10.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 10.3.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

ステップ 10.3.1.2

$- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 10.3.1.2.1

$- 4$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

ステップ 10.3.1.2.2

$- 16$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

ステップ 10.3.1.3

$4$ と $16$ をたし算します。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

ステップ 10.3.1.4

$20$ を $2^{2} \cdot 5$ に書き換えます。

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ステップ 10.3.1.4.1

$4$ を $20$ で因数分解します。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

ステップ 10.3.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

ステップ 10.3.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

ステップ 10.3.2

$2$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

ステップ 10.3.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ を簡約します。

$y = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$

ステップ 10.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 10.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 10.4.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

ステップ 10.4.1.2

$- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 10.4.1.2.1

$- 4$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

ステップ 10.4.1.2.2

$- 16$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

ステップ 10.4.1.3

$4$ と $16$ をたし算します。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

ステップ 10.4.1.4

$20$ を $2^{2} \cdot 5$ に書き換えます。

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ステップ 10.4.1.4.1

$4$ を $20$ で因数分解します。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

ステップ 10.4.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

ステップ 10.4.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

ステップ 10.4.2

$2$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

ステップ 10.4.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ を簡約します。

$y = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$

ステップ 10.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

ステップ 10.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 10.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 10.5.1.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

ステップ 10.5.1.2

$- 4 \cdot 4 \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 10.5.1.2.1

$- 4$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot - 1}}{2 \cdot 4}$

ステップ 10.5.1.2.2

$- 16$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot 4}$

ステップ 10.5.1.3

$4$ と $16$ をたし算します。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 4}$

ステップ 10.5.1.4

$20$ を $2^{2} \cdot 5$ に書き換えます。

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ステップ 10.5.1.4.1

$4$ を $20$ で因数分解します。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 4}$

ステップ 10.5.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

ステップ 10.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

ステップ 10.5.2

$2$ に $4$ をかけます。

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$

ステップ 10.5.3

$\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{8}$ を簡約します。

$y = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$

ステップ 10.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

ステップ 10.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}, \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

ステップ 11

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$y = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}, \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

10進法形式：

$y = 0.80901699 \dots, - 0.30901699 \dots$

微分積分学準備 例

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