微分積分学準備例

$y^{\frac{9}{2}} - 10 y^{\frac{7}{2}} + 21 y^{\frac{5}{2}} = 0$

ステップ 1

$y^{\frac{5}{2}}$ を $y^{\frac{9}{2}} - 10 y^{\frac{7}{2}} + 21 y^{\frac{5}{2}}$ で因数分解します。

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ステップ 1.1

$y^{\frac{5}{2}}$ を $y^{\frac{9}{2}}$ で因数分解します。

$y^{\frac{5}{2}} y^{\frac{4}{2}} - 10 y^{\frac{7}{2}} + 21 y^{\frac{5}{2}} = 0$

ステップ 1.2

$y^{\frac{5}{2}}$ を $- 10 y^{\frac{7}{2}}$ で因数分解します。

$y^{\frac{5}{2}} y^{\frac{4}{2}} + y^{\frac{5}{2}} (- 10 y^{\frac{2}{2}}) + 21 y^{\frac{5}{2}} = 0$

ステップ 1.3

$y^{\frac{5}{2}}$ を $21 y^{\frac{5}{2}}$ で因数分解します。

$y^{\frac{5}{2}} y^{\frac{4}{2}} + y^{\frac{5}{2}} (- 10 y^{\frac{2}{2}}) + y^{\frac{5}{2}} \cdot 21 = 0$

ステップ 1.4

$y^{\frac{5}{2}}$ を $y^{\frac{5}{2}} y^{\frac{4}{2}} + y^{\frac{5}{2}} (- 10 y^{\frac{2}{2}})$ で因数分解します。

$y^{\frac{5}{2}} (y^{\frac{4}{2}} - 10 y^{\frac{2}{2}}) + y^{\frac{5}{2}} \cdot 21 = 0$

ステップ 1.5

$y^{\frac{5}{2}}$ を $y^{\frac{5}{2}} (y^{\frac{4}{2}} - 10 y^{\frac{2}{2}}) + y^{\frac{5}{2}} \cdot 21$ で因数分解します。

$y^{\frac{5}{2}} (y^{\frac{4}{2}} - 10 y^{\frac{2}{2}} + 21) = 0$

ステップ 2

たすき掛けを利用して $y^{\frac{4}{2}} - 10 y^{\frac{2}{2}} + 21$ を因数分解します。

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ステップ 2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $21$ で、その和が $- 10$ です。

$- 7, - 3$

ステップ 2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$y^{\frac{5}{2}} ((y^{\frac{2}{2}} - 7) (y^{\frac{2}{2}} - 3)) = 0$

ステップ 3

$2$ を $2$ で割ります。

$y^{\frac{5}{2}} ((y - 7) (y^{\frac{2}{2}} - 3)) = 0$

ステップ 4

$2$ を $2$ で割ります。

$y^{\frac{5}{2}} ((y - 7) (y - 3)) = 0$

ステップ 5

不要な括弧を削除します。

$y^{\frac{5}{2}} (y - 7) (y - 3) = 0$

ステップ 6

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$y^{\frac{5}{2}} = 0$

$y - 7 = 0$

$y - 3 = 0$

ステップ 7

$y^{\frac{5}{2}}$ を $0$ に等しくし、 $y$ を解きます。

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ステップ 7.1

$y^{\frac{5}{2}}$ が $0$ に等しいとします。

$y^{\frac{5}{2}} = 0$

ステップ 7.2

$y$ について $y^{\frac{5}{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 7.2.1

方程式の両辺を $\frac{2}{5}$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(y^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}} = 0^{\frac{2}{5}}$

ステップ 7.2.2

指数を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1.1

${(y^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1.1.1

${(y^{\frac{5}{2}})}^{\frac{2}{5}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 7.2.2.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = 0^{\frac{2}{5}}$

ステップ 7.2.2.1.1.1.2

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$y^{\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{5}} = 0^{\frac{2}{5}}$

ステップ 7.2.2.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{\frac{2}{5}}$

ステップ 7.2.2.1.1.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.1.1.1.3.1

共通因数を約分します。

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{\frac{2}{5}}$

ステップ 7.2.2.1.1.1.3.2

式を書き換えます。

$y^{1} = 0^{\frac{2}{5}}$

ステップ 7.2.2.1.1.2

簡約します。

$y = 0^{\frac{2}{5}}$

ステップ 7.2.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.2.2.1

$0^{\frac{2}{5}}$ を簡約します。

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ステップ 7.2.2.2.1.1

式を簡約します。

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ステップ 7.2.2.2.1.1.1

$0$ を $0^{5}$ に書き換えます。

$y = {(0^{5})}^{\frac{2}{5}}$

ステップ 7.2.2.2.1.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$y = 0^{5 (\frac{2}{5})}$

ステップ 7.2.2.2.1.2

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$y = 0^{5 (\frac{2}{5})}$

ステップ 7.2.2.2.1.2.2

式を書き換えます。

$y = 0^{2}$

ステップ 7.2.2.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$y = 0$

ステップ 8

$y - 7$ を $0$ に等しくし、 $y$ を解きます。

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ステップ 8.1

$y - 7$ が $0$ に等しいとします。

$y - 7 = 0$

ステップ 8.2

方程式の両辺に $7$ を足します。

$y = 7$

ステップ 9

$y - 3$ を $0$ に等しくし、 $y$ を解きます。

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ステップ 9.1

$y - 3$ が $0$ に等しいとします。

$y - 3 = 0$

ステップ 9.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$y = 3$

ステップ 10

最終解は $y^{\frac{5}{2}} (y - 7) (y - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$y = 0, 7, 3$

微分積分学準備 例

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