微分積分学準備例

$x^{8} - 32 x^{4} + 256 = 0$

ステップ 1

$x^{8}$ を ${(x^{4})}^{2}$ に書き換えます。

${(x^{4})}^{2} - 32 x^{4} + 256 = 0$

ステップ 2

$u = x^{4}$ とします。 $u$ を $x^{4}$ に代入します。

$u^{2} - 32 u + 256 = 0$

ステップ 3

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 3.1

$256$ を $16^{2}$ に書き換えます。

$u^{2} - 32 u + 16^{2} = 0$

ステップ 3.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$32 u = 2 \cdot u \cdot 16$

ステップ 3.3

多項式を書き換えます。

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 16 + 16^{2} = 0$

ステップ 3.4

$a = u$ と $b = 16$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(u - 16)}^{2} = 0$

ステップ 4

$u$ のすべての発生を $x^{4}$ で置き換えます。

${(x^{4} - 16)}^{2} = 0$

ステップ 5

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

${({(x^{2})}^{2} - 16)}^{2} = 0$

ステップ 6

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

${({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{2} = 0$

ステップ 7

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x^{2}$ であり、 $b = 4$ です。

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{2} = 0$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{2} = 0$

ステップ 8.2

因数分解。

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ステップ 8.2.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

${((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)))}^{2} = 0$

ステップ 8.2.2

不要な括弧を削除します。

${((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

ステップ 9

積の法則を $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ に当てはめます。

${((x^{2} + 4) (x + 2))}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 10

積の法則を $(x^{2} + 4) (x + 2)$ に当てはめます。

${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 11

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 12

${(x^{2} + 4)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 12.1

${(x^{2} + 4)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

ステップ 12.2

$x$ について ${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 12.2.1

$x^{2} + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 4 = 0$

ステップ 12.2.2

$x$ について解きます。

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ステップ 12.2.2.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x^{2} = - 4$

ステップ 12.2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

ステップ 12.2.2.3

$\pm \sqrt{- 4}$ を簡約します。

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ステップ 12.2.2.3.1

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

ステップ 12.2.2.3.2

$\sqrt{- 1 (4)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

ステップ 12.2.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

ステップ 12.2.2.3.4

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

ステップ 12.2.2.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \cdot 2$

ステップ 12.2.2.3.6

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \pm 2 i$

ステップ 12.2.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 12.2.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2 i$

ステップ 12.2.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2 i$

ステップ 12.2.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2 i, - 2 i$

ステップ 13

${(x + 2)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 13.1

${(x + 2)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 2)}^{2} = 0$

ステップ 13.2

$x$ について ${(x + 2)}^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 13.2.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 13.2.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 14

${(x - 2)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 14.1

${(x - 2)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 14.2

$x$ について ${(x - 2)}^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 14.2.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 14.2.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 15

最終解は ${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2 i, - 2 i, - 2, 2$

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