微分積分学準備例

$\sec (\arcsin (\frac{x}{3})) = \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}}$

ステップ 1

方程式の両辺から $\frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}}$ を引きます。

$\sec (\arcsin (\frac{x}{3})) - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

ステップ 2

$\sec (\arcsin (\frac{x}{3})) - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}}$ を簡約します。

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ステップ 2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1

交点 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ 、 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arcsin (\frac{x}{3})$ は正のx軸と、原点から始まって $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}, \frac{x}{3})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\sec (\arcsin (\frac{x}{3}))$ は $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}}$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x}{3})}^{2}}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

ステップ 2.1.2

分母を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{3})}^{2}}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

ステップ 2.1.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \frac{x}{3}$ です。

$\frac{1}{\sqrt{(1 + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

ステップ 2.1.2.3

簡約します。

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ステップ 2.1.2.3.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{\sqrt{(\frac{3}{3} + \frac{x}{3}) (1 - \frac{x}{3})}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

ステップ 2.1.2.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{3 + x}{3} (1 - \frac{x}{3})}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

ステップ 2.1.2.3.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{3 + x}{3} (\frac{3}{3} - \frac{x}{3})}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

ステップ 2.1.2.3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{3 + x}{3} \cdot \frac{3 - x}{3}}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

ステップ 2.1.2.4

$\frac{3 + x}{3}$ に $\frac{3 - x}{3}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{3 \cdot 3}}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

ステップ 2.1.2.5

$3$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

ステップ 2.1.2.6

$\frac{(3 + x) (3 - x)}{9}$ を ${(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))$ に書き換えます。

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ステップ 2.1.2.6.1

$(3 + x) (3 - x)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{9}}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

ステップ 2.1.2.6.2

$9$ から完全累乗 $3^{2}$ を因数分解します。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

ステップ 2.1.2.6.3

分数 $\frac{1^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$\frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

ステップ 2.1.2.7

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{1}{\frac{1}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

ステップ 2.1.2.8

$\frac{1}{3}$ と $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ をまとめます。

$\frac{1}{\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

ステップ 2.1.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$1 \frac{3}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

ステップ 2.1.4

$\frac{3}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{3}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

ステップ 2.1.5

$\frac{3}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}$ に $\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}$ をかけます。

$\frac{3}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

ステップ 2.1.6

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 2.1.6.1

$\frac{3}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}$ に $\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}$ をかけます。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

ステップ 2.1.6.2

$\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{1} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

ステップ 2.1.6.3

$\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{1} {\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{1}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

ステップ 2.1.6.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{1 + 1}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

ステップ 2.1.6.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{2}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

ステップ 2.1.6.6

${\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{2}$ を $(3 + x) (3 - x)$ に書き換えます。

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ステップ 2.1.6.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ を ${((3 + x) (3 - x))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{({((3 + x) (3 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

ステップ 2.1.6.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{((3 + x) (3 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

ステップ 2.1.6.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{((3 + x) (3 - x))}^{\frac{2}{2}}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

ステップ 2.1.6.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.6.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{((3 + x) (3 - x))}^{\frac{2}{2}}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

ステップ 2.1.6.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{((3 + x) (3 - x))}^{1}} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

ステップ 2.1.6.6.5

簡約します。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3}{\sqrt{9 - x^{2}}} = 0$

ステップ 2.1.7

分母を簡約します。

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ステップ 2.1.7.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3}{\sqrt{3^{2} - x^{2}}} = 0$

ステップ 2.1.7.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 3$ であり、 $b = x$ です。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}} = 0$

ステップ 2.1.8

$\frac{3}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}$ に $\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}$ をかけます。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - (\frac{3}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}) = 0$

ステップ 2.1.9

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 2.1.9.1

$\frac{3}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}$ に $\frac{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}$ をかけます。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{\sqrt{(3 + x) (3 - x)} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}} = 0$

ステップ 2.1.9.2

$\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{1} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}} = 0$

ステップ 2.1.9.3

$\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{1} {\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{1}} = 0$

ステップ 2.1.9.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{1 + 1}} = 0$

ステップ 2.1.9.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{2}} = 0$

ステップ 2.1.9.6

${\sqrt{(3 + x) (3 - x)}}^{2}$ を $(3 + x) (3 - x)$ に書き換えます。

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ステップ 2.1.9.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ を ${((3 + x) (3 - x))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{({((3 + x) (3 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 0$

ステップ 2.1.9.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{((3 + x) (3 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 0$

ステップ 2.1.9.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{((3 + x) (3 - x))}^{\frac{2}{2}}} = 0$

ステップ 2.1.9.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.9.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{((3 + x) (3 - x))}^{\frac{2}{2}}} = 0$

ステップ 2.1.9.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{{((3 + x) (3 - x))}^{1}} = 0$

ステップ 2.1.9.6.5

簡約します。

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} - \frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)} = 0$

ステップ 2.2

$\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)}$ から $\frac{3 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{(3 + x) (3 - x)}$ を引きます。

$0 = 0$

微分積分学準備 例

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