微分積分学準備例

$- 4 x^{2} + 4 x - 1$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

$- 4 {(\frac{1}{2})}^{2} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = \frac{1}{2}$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$- 4 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

ステップ 4.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$- 4 \frac{1}{2^{2}} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

ステップ 4.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$- 4 (\frac{1}{4}) + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

ステップ 4.1.4

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.4.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$4 (- 1) \frac{1}{4} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

ステップ 4.1.4.2

共通因数を約分します。

$4 \cdot - 1 \frac{1}{4} + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

ステップ 4.1.4.3

式を書き換えます。

$- 1 + 4 (\frac{1}{2}) - 1$

ステップ 4.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.5.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$- 1 + 2 (2) \frac{1}{2} - 1$

ステップ 4.1.5.2

共通因数を約分します。

$- 1 + 2 \cdot 2 \frac{1}{2} - 1$

ステップ 4.1.5.3

式を書き換えます。

$- 1 + 2 - 1$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- 1$ と $2$ をたし算します。

$1 - 1$

ステップ 4.2.2

$1$ から $1$ を引きます。

$0$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ は既知の根なので、多項式を $x - \frac{1}{2}$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{- 4 x^{2} + 4 x - 1}{x - \frac{1}{2}}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$

ステップ 6.2

被除数 $(- 4)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$

	$- 4$

ステップ 6.3

結果 $(- 4)$ の最新の項目に除数 $(\frac{1}{2})$ を掛け、 $(- 2)$ の結果を被除数 $(4)$ の隣の項の下に置きます。

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$
		$- 2$
	$- 4$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$
		$- 2$
	$- 4$	$2$

ステップ 6.5

結果 $(2)$ の最新の項目に除数 $(\frac{1}{2})$ を掛け、 $(1)$ の結果を被除数 $(- 1)$ の隣の項の下に置きます。

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$
		$- 2$	$1$
	$- 4$	$2$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$\frac{1}{2}$	$- 4$	$4$	$- 1$
		$- 2$	$1$
	$- 4$	$2$	$0$

ステップ 6.7

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$(- 4) x + 2$

ステップ 6.8

商の多項式を簡約します。

$- 4 x + 2$

ステップ 7

$2$ を $- 4 x + 2$ で因数分解します。

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ステップ 7.1

$2$ を $- 4 x$ で因数分解します。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (- 2 x) + 2)$

ステップ 7.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (- 2 x) + 2 (1))$

ステップ 7.3

$2$ を $2 (- 2 x) + 2 (1)$ で因数分解します。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (- 2 x + 1))$

ステップ 8

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 8.1

$- 1$ を $- 4 x^{2} + 4 x - 1$ で因数分解します。

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ステップ 8.1.1

$- 1$ を $- 4 x^{2}$ で因数分解します。

$- (4 x^{2}) + 4 x - 1 = 0$

ステップ 8.1.2

$- 1$ を $4 x$ で因数分解します。

$- (4 x^{2}) - (- 4 x) - 1 = 0$

ステップ 8.1.3

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$- (4 x^{2}) - (- 4 x) - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 8.1.4

$- 1$ を $- (4 x^{2}) - (- 4 x)$ で因数分解します。

$- (4 x^{2} - 4 x) - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 8.1.5

$- 1$ を $- (4 x^{2} - 4 x) - 1 (1)$ で因数分解します。

$- (4 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

ステップ 8.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 8.2.1

$4 x^{2}$ を ${(2 x)}^{2}$ に書き換えます。

$- ({(2 x)}^{2} - 4 x + 1) = 0$

ステップ 8.2.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$- ({(2 x)}^{2} - 4 x + 1^{2}) = 0$

ステップ 8.2.3

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot (2 x) \cdot 1$

ステップ 8.2.4

多項式を書き換えます。

$- ({(2 x)}^{2} - 2 \cdot (2 x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

ステップ 8.2.5

$a = 2 x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$- {(2 x - 1)}^{2} = 0$

ステップ 9

$- {(2 x - 1)}^{2} = 0$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 9.1

$- {(2 x - 1)}^{2} = 0$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- {(2 x - 1)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 9.2

左辺を簡約します。

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ステップ 9.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 9.2.2

${(2 x - 1)}^{2}$ を $1$ で割ります。

${(2 x - 1)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 9.3

右辺を簡約します。

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ステップ 9.3.1

$0$ を $- 1$ で割ります。

${(2 x - 1)}^{2} = 0$

ステップ 10

$2 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 x - 1 = 0$

ステップ 11

$x$ について解きます。

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ステップ 11.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 x = 1$

ステップ 11.2

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 11.2.1

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 11.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 11.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 11.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 12

微分積分学準備 例

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