微分積分学準備例

$\frac{x^{2} + 9 x + 20}{x^{2} - 9} > 0$

ステップ 1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x^{2} + 9 x + 20 = 0$

$x^{2} - 9 = 0$

ステップ 2

たすき掛けを利用して $x^{2} + 9 x + 20$ を因数分解します。

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ステップ 2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $20$ で、その和が $9$ です。

$4, 5$

ステップ 2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x + 4) (x + 5) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 4 = 0$

$x + 5 = 0$

ステップ 4

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 5

$x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$x + 5 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 6

最終解は $(x + 4) (x + 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 4, - 5$

ステップ 7

方程式の両辺に $9$ を足します。

$x^{2} = 9$

ステップ 8

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

ステップ 9

$\pm \sqrt{9}$ を簡約します。

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ステップ 9.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

ステップ 9.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 3$

ステップ 10

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 10.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 3$

ステップ 10.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 3$

ステップ 10.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 3, - 3$

ステップ 11

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = - 4, - 5$

$x = 3, - 3$

ステップ 12

解をまとめます。

$x = - 4, - 5, 3, - 3$

ステップ 13

$\frac{x^{2} + 9 x + 20}{x^{2} - 9}$ の定義域を求めます。

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ステップ 13.1

$\frac{x^{2} + 9 x + 20}{x^{2} - 9}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} - 9 = 0$

ステップ 13.2

$x$ について解きます。

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ステップ 13.2.1

方程式の両辺に $9$ を足します。

$x^{2} = 9$

ステップ 13.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

ステップ 13.2.3

$\pm \sqrt{9}$ を簡約します。

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ステップ 13.2.3.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

ステップ 13.2.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 3$

ステップ 13.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 13.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 3$

ステップ 13.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 3$

ステップ 13.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 3, - 3$

ステップ 13.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

ステップ 14

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 5$

$- 5 < x < - 4$

$- 4 < x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$x > 3$

ステップ 15

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 15.1

区間 $x < - 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 15.1.1

区間 $x < - 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 8$

ステップ 15.1.2

$x$ を元の不等式の $- 8$ で置き換えます。

$\frac{{(- 8)}^{2} + 9 (- 8) + 20}{{(- 8)}^{2} - 9} > 0$

ステップ 15.1.3

左辺 $0.2\overline{18}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 15.2

区間 $- 5 < x < - 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 15.2.1

区間 $- 5 < x < - 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4.5$

ステップ 15.2.2

$x$ を元の不等式の $- 4.5$ で置き換えます。

$\frac{{(- 4.5)}^{2} + 9 (- 4.5) + 20}{{(- 4.5)}^{2} - 9} > 0$

ステップ 15.2.3

左辺 $- 0.0\overline{2}$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 15.3

区間 $- 4 < x < - 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 15.3.1

区間 $- 4 < x < - 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 3.5$

ステップ 15.3.2

$x$ を元の不等式の $- 3.5$ で置き換えます。

$\frac{{(- 3.5)}^{2} + 9 (- 3.5) + 20}{{(- 3.5)}^{2} - 9} > 0$

ステップ 15.3.3

左辺 $0.\overline{230769}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 15.4

区間 $- 3 < x < 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 15.4.1

区間 $- 3 < x < 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 15.4.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{{(0)}^{2} + 9 (0) + 20}{{(0)}^{2} - 9} > 0$

ステップ 15.4.3

左辺 $- 2.\overline{2}$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 15.5

区間 $x > 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 15.5.1

区間 $x > 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 15.5.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$\frac{{(6)}^{2} + 9 (6) + 20}{{(6)}^{2} - 9} > 0$

ステップ 15.5.3

左辺 $4.\overline{074}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 15.6

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 5$ 真

$- 5 < x < - 4$ 偽

$- 4 < x < - 3$ 真

$- 3 < x < 3$ 偽

$x > 3$ 真

$x < - 5$ 真

$- 5 < x < - 4$ 偽

$- 4 < x < - 3$ 真

$- 3 < x < 3$ 偽

$x > 3$ 真

ステップ 16

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 5$ または $- 4 < x < - 3$ または $x > 3$

ステップ 17

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, - 5) \cup (- 4, - 3) \cup (3, \infty)$

ステップ 18

微分積分学準備 例

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