微分積分学準備例

$x^{4} > 81 x^{2}$

ステップ 1

不等式の両辺から $81 x^{2}$ を引きます。

$x^{4} - 81 x^{2} > 0$

ステップ 2

不等式を方程式に変換します。

$x^{4} - 81 x^{2} = 0$

ステップ 3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.1

$x^{2}$ を $x^{4} - 81 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 3.1.1

$x^{2}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$x^{2} x^{2} - 81 x^{2} = 0$

ステップ 3.1.2

$x^{2}$ を $- 81 x^{2}$ で因数分解します。

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 81 = 0$

ステップ 3.1.3

$x^{2}$ を $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 81$ で因数分解します。

$x^{2} (x^{2} - 81) = 0$

ステップ 3.2

$81$ を $9^{2}$ に書き換えます。

$x^{2} (x^{2} - 9^{2}) = 0$

ステップ 3.3

因数分解。

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ステップ 3.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 9$ です。

$x^{2} ((x + 9) (x - 9)) = 0$

ステップ 3.3.2

不要な括弧を削除します。

$x^{2} (x + 9) (x - 9) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$x + 9 = 0$

$x - 9 = 0$

ステップ 5

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 5.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 5.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 5.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 6

$x + 9$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$x + 9$ が $0$ に等しいとします。

$x + 9 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$x = - 9$

ステップ 7

$x - 9$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.1

$x - 9$ が $0$ に等しいとします。

$x - 9 = 0$

ステップ 7.2

方程式の両辺に $9$ を足します。

$x = 9$

ステップ 8

最終解は $x^{2} (x + 9) (x - 9) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 9, 9$

ステップ 9

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 9$

$- 9 < x < 0$

$0 < x < 9$

$x > 9$

ステップ 10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 10.1

区間 $x < - 9$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.1.1

区間 $x < - 9$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 12$

ステップ 10.1.2

$x$ を元の不等式の $- 12$ で置き換えます。

${(- 12)}^{4} > 81 {(- 12)}^{2}$

ステップ 10.1.3

左辺 $20736$ は右辺 $11664$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 10.2

区間 $- 9 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.2.1

区間 $- 9 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 10.2.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

${(- 4)}^{4} > 81 {(- 4)}^{2}$

ステップ 10.2.3

左辺 $256$ は右辺 $1296$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 10.3

区間 $0 < x < 9$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.3.1

区間 $0 < x < 9$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 10.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

${(4)}^{4} > 81 {(4)}^{2}$

ステップ 10.3.3

左辺 $256$ は右辺 $1296$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 10.4

区間 $x > 9$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.4.1

区間 $x > 9$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 12$

ステップ 10.4.2

$x$ を元の不等式の $12$ で置き換えます。

${(12)}^{4} > 81 {(12)}^{2}$

ステップ 10.4.3

左辺 $20736$ は右辺 $11664$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 10.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 9$ 真

$- 9 < x < 0$ 偽

$0 < x < 9$ 偽

$x > 9$ 真

$x < - 9$ 真

$- 9 < x < 0$ 偽

$0 < x < 9$ 偽

$x > 9$ 真

ステップ 11

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 9$ または $x > 9$

ステップ 12

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, - 9) \cup (9, \infty)$

ステップ 13

微分積分学準備 例

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