微分積分学準備例

$x^{2} - 4 x + 4 > 0$

ステップ 1

不等式を方程式に変換します。

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$

ステップ 2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x^{2} - 4 x + 2^{2} = 0$

ステップ 2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

ステップ 2.3

多項式を書き換えます。

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2} = 0$

ステップ 2.4

$a = x$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(x - 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 3

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 4

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 2$

$x > 2$

ステップ 6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 6.1

区間 $x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.1.1

区間 $x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 6.1.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

${(0)}^{2} - 4 \cdot 0 + 4 > 0$

ステップ 6.1.3

左辺 $4$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

True

ステップ 6.2

区間 $x > 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.2.1

区間 $x > 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 6.2.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

${(4)}^{2} - 4 \cdot 4 + 4 > 0$

ステップ 6.2.3

左辺 $4$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

True

ステップ 6.3

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 2$ 真

$x > 2$ 真

$x < 2$ 真

$x > 2$ 真

ステップ 7

解はすべての真の区間からなります。

$x < 2$ または $x > 2$

ステップ 8

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 9

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$