微分積分学準備例

$x^{3} + 3 x^{2} - 16 x - 48 > 0$

ステップ 1

不等式を方程式に変換します。

$x^{3} + 3 x^{2} - 16 x - 48 = 0$

ステップ 2

方程式の左辺を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x^{3} + 3 x^{2}) - 16 x - 48 = 0$

ステップ 2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x^{2} (x + 3) - 16 (x + 3) = 0$

ステップ 2.2

最大公約数 $x + 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x + 3) (x^{2} - 16) = 0$

ステップ 2.3

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$(x + 3) (x^{2} - 4^{2}) = 0$

ステップ 2.4

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 4$ です。

$(x + 3) ((x + 4) (x - 4)) = 0$

ステップ 2.4.2

不要な括弧を削除します。

$(x + 3) (x + 4) (x - 4) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 3 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

ステップ 4

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 5

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 6

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 7

最終解は $(x + 3) (x + 4) (x - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 3, - 4, 4$

ステップ 8

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 4$

$- 4 < x < - 3$

$- 3 < x < 4$

$x > 4$

ステップ 9

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

区間 $x < - 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

区間 $x < - 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 9.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

${(- 6)}^{3} + 3 {(- 6)}^{2} - 16 \cdot - 6 - 48 > 0$

ステップ 9.1.3

左辺 $- 60$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 9.2

区間 $- 4 < x < - 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

区間 $- 4 < x < - 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 3.5$

ステップ 9.2.2

$x$ を元の不等式の $- 3.5$ で置き換えます。

${(- 3.5)}^{3} + 3 {(- 3.5)}^{2} - 16 \cdot - 3.5 - 48 > 0$

ステップ 9.2.3

左辺 $1.875$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 9.3

区間 $- 3 < x < 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.3.1

区間 $- 3 < x < 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 9.3.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

${(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} - 16 \cdot 0 - 48 > 0$

ステップ 9.3.3

左辺 $- 48$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 9.4

区間 $x > 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.1

区間 $x > 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 9.4.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

${(6)}^{3} + 3 {(6)}^{2} - 16 \cdot 6 - 48 > 0$

ステップ 9.4.3

左辺 $180$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 9.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 4$ 偽

$- 4 < x < - 3$ 真

$- 3 < x < 4$ 偽

$x > 4$ 真

$x < - 4$ 偽

$- 4 < x < - 3$ 真

$- 3 < x < 4$ 偽

$x > 4$ 真

ステップ 10

解はすべての真の区間からなります。

$- 4 < x < - 3$ または $x > 4$

ステップ 11

不等式を区間記号に変換します。

$(- 4, - 3) \cup (4, \infty)$

ステップ 12

微分積分学準備 例

微分積分学準備例