微分積分学準備例

$\frac{1}{x - 2} < \frac{2}{3 x - 9}$

ステップ 1

不等式の両辺から $\frac{2}{3 x - 9}$ を引きます。

$\frac{1}{x - 2} - \frac{2}{3 x - 9} < 0$

ステップ 2

$\frac{1}{x - 2} - \frac{2}{3 x - 9}$ を簡約します。

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ステップ 2.1

$3$ を $3 x - 9$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$\frac{1}{x - 2} - \frac{2}{3 (x) - 9} < 0$

ステップ 2.1.2

$3$ を $- 9$ で因数分解します。

$\frac{1}{x - 2} - \frac{2}{3 x + 3 \cdot - 3} < 0$

ステップ 2.1.3

$3$ を $3 x + 3 \cdot - 3$ で因数分解します。

$\frac{1}{x - 2} - \frac{2}{3 (x - 3)} < 0$

ステップ 2.2

$\frac{1}{x - 2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3 (x - 3)}{3 (x - 3)}$ を掛けます。

$\frac{1}{x - 2} \cdot \frac{3 (x - 3)}{3 (x - 3)} - \frac{2}{3 (x - 3)} < 0$

ステップ 2.3

$- \frac{2}{3 (x - 3)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 2}{x - 2}$ を掛けます。

$\frac{1}{x - 2} \cdot \frac{3 (x - 3)}{3 (x - 3)} - \frac{2}{3 (x - 3)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} < 0$

ステップ 2.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x - 2) \cdot 3 (x - 3)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.4.1

$\frac{1}{x - 2}$ に $\frac{3 (x - 3)}{3 (x - 3)}$ をかけます。

$\frac{3 (x - 3)}{(x - 2) (3 (x - 3))} - \frac{2}{3 (x - 3)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} < 0$

ステップ 2.4.2

$\frac{2}{3 (x - 3)}$ に $\frac{x - 2}{x - 2}$ をかけます。

$\frac{3 (x - 3)}{(x - 2) (3 (x - 3))} - \frac{2 (x - 2)}{3 (x - 3) (x - 2)} < 0$

ステップ 2.4.3

$(x - 2) (3 (x - 3))$ の因数を並べ替えます。

$\frac{3 (x - 3)}{3 (x - 2) (x - 3)} - \frac{2 (x - 2)}{3 (x - 3) (x - 2)} < 0$

ステップ 2.4.4

$3 (x - 3) (x - 2)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{3 (x - 3)}{3 (x - 2) (x - 3)} - \frac{2 (x - 2)}{3 (x - 2) (x - 3)} < 0$

ステップ 2.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 (x - 3) - 2 (x - 2)}{3 (x - 2) (x - 3)} < 0$

ステップ 2.6

分子を簡約します。

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ステップ 2.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x + 3 \cdot - 3 - 2 (x - 2)}{3 (x - 2) (x - 3)} < 0$

ステップ 2.6.2

$3$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{3 x - 9 - 2 (x - 2)}{3 (x - 2) (x - 3)} < 0$

ステップ 2.6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x - 9 - 2 x - 2 \cdot - 2}{3 (x - 2) (x - 3)} < 0$

ステップ 2.6.4

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{3 x - 9 - 2 x + 4}{3 (x - 2) (x - 3)} < 0$

ステップ 2.6.5

$3 x$ から $2 x$ を引きます。

$\frac{x - 9 + 4}{3 (x - 2) (x - 3)} < 0$

ステップ 2.6.6

$- 9$ と $4$ をたし算します。

$\frac{x - 5}{3 (x - 2) (x - 3)} < 0$

ステップ 3

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x - 5 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 4

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 5

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 6

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 7

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 5$

$x = 2$

$x = 3$

ステップ 8

解をまとめます。

$x = 5, 2, 3$

ステップ 9

$\frac{x - 5}{3 (x - 2) (x - 3)}$ の定義域を求めます。

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ステップ 9.1

$\frac{x - 5}{3 (x - 2) (x - 3)}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$3 (x - 2) (x - 3) = 0$

ステップ 9.2

$x$ について解きます。

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ステップ 9.2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 2 = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 9.2.2

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 9.2.2.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 9.2.2.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 9.2.3

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 9.2.3.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 9.2.3.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 9.2.4

最終解は $3 (x - 2) (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2, 3$

ステップ 9.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 2) \cup (2, 3) \cup (3, \infty)$

ステップ 10

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < 2$

$2 < x < 3$

$3 < x < 5$

$x > 5$

ステップ 11

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 11.1

区間 $x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.1.1

区間 $x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 11.1.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{1}{(0) - 2} < \frac{2}{3 (0) - 9}$

ステップ 11.1.3

左辺 $- 0.5$ は右辺 $- 0.\overline{2}$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 11.2

区間 $2 < x < 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.2.1

区間 $2 < x < 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2.5$

ステップ 11.2.2

$x$ を元の不等式の $2.5$ で置き換えます。

$\frac{1}{(2.5) - 2} < \frac{2}{3 (2.5) - 9}$

ステップ 11.2.3

左辺 $2$ は右辺 $- 1.\overline{3}$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 11.3

区間 $3 < x < 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.3.1

区間 $3 < x < 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 11.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\frac{1}{(4) - 2} < \frac{2}{3 (4) - 9}$

ステップ 11.3.3

左辺 $0.5$ は右辺 $0.\overline{6}$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 11.4

区間 $x > 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.4.1

区間 $x > 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 8$

ステップ 11.4.2

$x$ を元の不等式の $8$ で置き換えます。

$\frac{1}{(8) - 2} < \frac{2}{3 (8) - 9}$

ステップ 11.4.3

左辺 $0.1\overline{6}$ は右辺 $0.1\overline{3}$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 11.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < 2$ 真

$2 < x < 3$ 偽

$3 < x < 5$ 真

$x > 5$ 偽

$x < 2$ 真

$2 < x < 3$ 偽

$3 < x < 5$ 真

$x > 5$ 偽

ステップ 12

解はすべての真の区間からなります。

$x < 2$ または $3 < x < 5$

ステップ 13

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, 2) \cup (3, 5)$

ステップ 14

微分積分学準備 例

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