微分積分学準備例

$6 x - 5 < \frac{6}{x}$

ステップ 1

両辺に $x$ を掛けます。

$(6 x - 5) x = \frac{6}{x} x$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 2.1.1

$(6 x - 5) x$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$6 x \cdot x - 5 x = \frac{6}{x} x$

ステップ 2.1.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 2.1.1.2.1

$x$ を移動させます。

$6 (x \cdot x) - 5 x = \frac{6}{x} x$

ステップ 2.1.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$6 x^{2} - 5 x = \frac{6}{x} x$

ステップ 2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$6 x^{2} - 5 x = \frac{6}{x} x$

ステップ 2.2.1.2

式を書き換えます。

$6 x^{2} - 5 x = 6$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$6 x^{2} - 5 x - 6 = 0$

ステップ 3.2

群による因数分解。

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ステップ 3.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 6 \cdot - 6 = - 36$ で和が $b = - 5$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 3.2.1.1

$- 5$ を $- 5 x$ で因数分解します。

$6 x^{2} - 5 x - 6 = 0$

ステップ 3.2.1.2

$- 5$ を $4$ プラス $- 9$ に書き換える

$6 x^{2} + (4 - 9) x - 6 = 0$

ステップ 3.2.1.3

分配則を当てはめます。

$6 x^{2} + 4 x - 9 x - 6 = 0$

ステップ 3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(6 x^{2} + 4 x) - 9 x - 6 = 0$

ステップ 3.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$2 x (3 x + 2) - 3 (3 x + 2) = 0$

ステップ 3.2.3

最大公約数 $3 x + 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(3 x + 2) (2 x - 3) = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 x + 2 = 0$

$2 x - 3 = 0$

ステップ 3.4

$3 x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.4.1

$3 x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$3 x + 2 = 0$

ステップ 3.4.2

$x$ について $3 x + 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.4.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$3 x = - 2$

ステップ 3.4.2.2

$3 x = - 2$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.1

$3 x = - 2$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

ステップ 3.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

ステップ 3.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 2}{3}$

ステップ 3.4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{2}{3}$

ステップ 3.5

$2 x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.5.1

$2 x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$2 x - 3 = 0$

ステップ 3.5.2

$x$ について $2 x - 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.5.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$2 x = 3$

ステップ 3.5.2.2

$2 x = 3$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.2.2.1

$2 x = 3$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

ステップ 3.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

ステップ 3.5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{3}{2}$

ステップ 3.6

最終解は $(3 x + 2) (2 x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{2}{3}, \frac{3}{2}$

ステップ 4

$6 x - 5 - \frac{6}{x}$ の定義域を求めます。

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ステップ 4.1

$\frac{6}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 4.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 5

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - \frac{2}{3}$

$- \frac{2}{3} < x < 0$

$0 < x < \frac{3}{2}$

$x > \frac{3}{2}$

ステップ 6

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 6.1

区間 $x < - \frac{2}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.1.1

区間 $x < - \frac{2}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 3$

ステップ 6.1.2

$x$ を元の不等式の $- 3$ で置き換えます。

$6 (- 3) - 5 < \frac{6}{- 3}$

ステップ 6.1.3

左辺 $- 23$ は右辺 $- 2$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 6.2

区間 $- \frac{2}{3} < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.2.1

区間 $- \frac{2}{3} < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 0.33$

ステップ 6.2.2

$x$ を元の不等式の $- 0.33$ で置き換えます。

$6 (- 0.33) - 5 < \frac{6}{- 0.33}$

ステップ 6.2.3

左辺 $- 6.98$ は右辺 $- 18.\overline{18}$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 6.3

区間 $0 < x < \frac{3}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.3.1

区間 $0 < x < \frac{3}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1$

ステップ 6.3.2

$x$ を元の不等式の $1$ で置き換えます。

$6 (1) - 5 < \frac{6}{1}$

ステップ 6.3.3

左辺 $1$ は右辺 $6$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 6.4

区間 $x > \frac{3}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 6.4.1

区間 $x > \frac{3}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 6.4.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$6 (4) - 5 < \frac{6}{4}$

ステップ 6.4.3

左辺 $19$ は右辺 $1.5$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 6.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - \frac{2}{3}$ 真

$- \frac{2}{3} < x < 0$ 偽

$0 < x < \frac{3}{2}$ 真

$x > \frac{3}{2}$ 偽

$x < - \frac{2}{3}$ 真

$- \frac{2}{3} < x < 0$ 偽

$0 < x < \frac{3}{2}$ 真

$x > \frac{3}{2}$ 偽

ステップ 7

解はすべての真の区間からなります。

$x < - \frac{2}{3}$ または $0 < x < \frac{3}{2}$

ステップ 8

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (0, \frac{3}{2})$

ステップ 9

微分積分学準備 例

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