微分積分学準備例

$x^{4} (1 - 3 x) {(5 x + 2)}^{3} > 0$

ステップ 1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{4} = 0$

$1 - 3 x = 0$

${(5 x + 2)}^{3} = 0$

ステップ 2

$x^{4}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.1

$x^{4}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{4} = 0$

ステップ 2.2

$x$ について $x^{4} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

ステップ 2.2.2

$\pm \sqrt[4]{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$0$ を $0^{4}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

ステップ 2.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 2.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 3

$1 - 3 x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$1 - 3 x$ が $0$ に等しいとします。

$1 - 3 x = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $1 - 3 x = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- 3 x = - 1$

ステップ 3.2.2

$- 3 x = - 1$ の各項を $- 3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$- 3 x = - 1$ の各項を $- 3$ で割ります。

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

ステップ 3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.2.1

$- 3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

ステップ 3.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{- 3}$

ステップ 3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x = \frac{1}{3}$

ステップ 4

${(5 x + 2)}^{3}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

${(5 x + 2)}^{3}$ が $0$ に等しいとします。

${(5 x + 2)}^{3} = 0$

ステップ 4.2

$x$ について ${(5 x + 2)}^{3} = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

$5 x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$5 x + 2 = 0$

ステップ 4.2.2

$x$ について解きます。

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ステップ 4.2.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$5 x = - 2$

ステップ 4.2.2.2

$5 x = - 2$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.2.2.1

$5 x = - 2$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

ステップ 4.2.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.2.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

ステップ 4.2.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 2}{5}$

ステップ 4.2.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{2}{5}$

ステップ 5

最終解は $x^{4} (1 - 3 x) {(5 x + 2)}^{3} > 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \frac{1}{3}, - \frac{2}{5}$

ステップ 6

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - \frac{2}{5}$

$- \frac{2}{5} < x < 0$

$0 < x < \frac{1}{3}$

$x > \frac{1}{3}$

ステップ 7

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 7.1

区間 $x < - \frac{2}{5}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.1.1

区間 $x < - \frac{2}{5}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 3$

ステップ 7.1.2

$x$ を元の不等式の $- 3$ で置き換えます。

${(- 3)}^{4} (1 - 3 \cdot - 3) {(5 (- 3) + 2)}^{3} > 0$

ステップ 7.1.3

左辺 $- 1779570$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 7.2

区間 $- \frac{2}{5} < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.2.1

区間 $- \frac{2}{5} < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 0.2$

ステップ 7.2.2

$x$ を元の不等式の $- 0.2$ で置き換えます。

${(- 0.2)}^{4} (1 - 3 \cdot - 0.2) {(5 (- 0.2) + 2)}^{3} > 0$

ステップ 7.2.3

左辺 $0.00256$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 7.3

区間 $0 < x < \frac{1}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.3.1

区間 $0 < x < \frac{1}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0.17$

ステップ 7.3.2

$x$ を元の不等式の $0.17$ で置き換えます。

${(0.17)}^{4} (1 - 3 \cdot 0.17) {(5 (0.17) + 2)}^{3} > 0$

ステップ 7.3.3

左辺 $0.00947384$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 7.4

区間 $x > \frac{1}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.4.1

区間 $x > \frac{1}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 7.4.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

${(3)}^{4} (1 - 3 \cdot 3) {(5 (3) + 2)}^{3} > 0$

ステップ 7.4.3

左辺 $- 3183624$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 7.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - \frac{2}{5}$ 偽

$- \frac{2}{5} < x < 0$ 真

$0 < x < \frac{1}{3}$ 真

$x > \frac{1}{3}$ 偽

$x < - \frac{2}{5}$ 偽

$- \frac{2}{5} < x < 0$ 真

$0 < x < \frac{1}{3}$ 真

$x > \frac{1}{3}$ 偽

ステップ 8

解はすべての真の区間からなります。

$- \frac{2}{5} < x < 0$ または $0 < x < \frac{1}{3}$

ステップ 9

不等式を区間記号に変換します。

$(- \frac{2}{5}, 0) \cup (0, \frac{1}{3})$

ステップ 10

微分積分学準備 例

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