微分積分学準備例

$4 x (x - 2) < (2 x - 1) (x - 3)$

ステップ 1

$4 x (x - 2)$ を簡約します。

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ステップ 1.1

書き換えます。

$0 + 0 + 4 x (x - 2) < (2 x - 1) (x - 3)$

ステップ 1.2

0を加えて簡約します。

$4 x (x - 2) < (2 x - 1) (x - 3)$

ステップ 1.3

分配則を当てはめます。

$4 x \cdot x + 4 x \cdot - 2 < (2 x - 1) (x - 3)$

ステップ 1.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.4.1

$x$ を移動させます。

$4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 2 < (2 x - 1) (x - 3)$

ステップ 1.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$4 x^{2} + 4 x \cdot - 2 < (2 x - 1) (x - 3)$

ステップ 1.5

$- 2$ に $4$ をかけます。

$4 x^{2} - 8 x < (2 x - 1) (x - 3)$

ステップ 2

$(2 x - 1) (x - 3)$ を簡約します。

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ステップ 2.1

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x - 1) (x - 3)$ を展開します。

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ステップ 2.1.1

分配則を当てはめます。

$4 x^{2} - 8 x < 2 x (x - 3) - 1 (x - 3)$

ステップ 2.1.2

分配則を当てはめます。

$4 x^{2} - 8 x < 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 - 1 (x - 3)$

ステップ 2.1.3

分配則を当てはめます。

$4 x^{2} - 8 x < 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3$

ステップ 2.2

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 2.2.1.1.1

$x$ を移動させます。

$4 x^{2} - 8 x < 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3$

ステップ 2.2.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$4 x^{2} - 8 x < 2 x^{2} + 2 x \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3$

ステップ 2.2.1.2

$- 3$ に $2$ をかけます。

$4 x^{2} - 8 x < 2 x^{2} - 6 x - 1 x - 1 \cdot - 3$

ステップ 2.2.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$4 x^{2} - 8 x < 2 x^{2} - 6 x - x - 1 \cdot - 3$

ステップ 2.2.1.4

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$4 x^{2} - 8 x < 2 x^{2} - 6 x - x + 3$

ステップ 2.2.2

$- 6 x$ から $x$ を引きます。

$4 x^{2} - 8 x < 2 x^{2} - 7 x + 3$

ステップ 3

$x$ を含むすべての項を不等式の左辺に移動させます。

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ステップ 3.1

不等式の両辺から $2 x^{2}$ を引きます。

$4 x^{2} - 8 x - 2 x^{2} < - 7 x + 3$

ステップ 3.2

不等式の両辺に $7 x$ を足します。

$4 x^{2} - 8 x - 2 x^{2} + 7 x < 3$

ステップ 3.3

$4 x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$2 x^{2} - 8 x + 7 x < 3$

ステップ 3.4

$- 8 x$ と $7 x$ をたし算します。

$2 x^{2} - x < 3$

ステップ 4

不等式を方程式に変換します。

$2 x^{2} - x = 3$

ステップ 5

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$2 x^{2} - x - 3 = 0$

ステップ 6

群による因数分解。

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ステップ 6.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ で和が $b = - 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 6.1.1

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$2 x^{2} - (x) - 3 = 0$

ステップ 6.1.2

$- 1$ を $2$ プラス $- 3$ に書き換える

$2 x^{2} + (2 - 3) x - 3 = 0$

ステップ 6.1.3

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} + 2 x - 3 x - 3 = 0$

ステップ 6.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 6.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(2 x^{2} + 2 x) - 3 x - 3 = 0$

ステップ 6.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$2 x (x + 1) - 3 (x + 1) = 0$

ステップ 6.3

最大公約数 $x + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x + 1) (2 x - 3) = 0$

ステップ 7

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 1 = 0$

$2 x - 3 = 0$

ステップ 8

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 8.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 8.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 9

$2 x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 9.1

$2 x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$2 x - 3 = 0$

ステップ 9.2

$x$ について $2 x - 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 9.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$2 x = 3$

ステップ 9.2.2

$2 x = 3$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 9.2.2.1

$2 x = 3$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

ステップ 9.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 9.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

ステップ 9.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{3}{2}$

ステップ 10

最終解は $(x + 1) (2 x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, \frac{3}{2}$

ステップ 11

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 1$

$- 1 < x < \frac{3}{2}$

$x > \frac{3}{2}$

ステップ 12

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 12.1

区間 $x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.1.1

区間 $x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 12.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$4 (- 4) ((- 4) - 2) < (2 (- 4) - 1) ((- 4) - 3)$

ステップ 12.1.3

左辺 $96$ は右辺 $63$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 12.2

区間 $- 1 < x < \frac{3}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.2.1

区間 $- 1 < x < \frac{3}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 12.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$4 (0) ((0) - 2) < (2 (0) - 1) ((0) - 3)$

ステップ 12.2.3

左辺 $0$ は右辺 $3$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 12.3

区間 $x > \frac{3}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.3.1

区間 $x > \frac{3}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 12.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$4 (4) ((4) - 2) < (2 (4) - 1) ((4) - 3)$

ステップ 12.3.3

左辺 $32$ は右辺 $7$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 12.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 1$ 偽

$- 1 < x < \frac{3}{2}$ 真

$x > \frac{3}{2}$ 偽

$x < - 1$ 偽

$- 1 < x < \frac{3}{2}$ 真

$x > \frac{3}{2}$ 偽

ステップ 13

解はすべての真の区間からなります。

$- 1 < x < \frac{3}{2}$

ステップ 14

不等式を区間記号に変換します。

$(- 1, \frac{3}{2})$

ステップ 15

微分積分学準備 例

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