微分積分学準備例

$25 x^{2} + 16 < 40 x$

ステップ 1

不等式の両辺から $40 x$ を引きます。

$25 x^{2} + 16 - 40 x < 0$

ステップ 2

不等式を方程式に変換します。

$25 x^{2} + 16 - 40 x = 0$

ステップ 3

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 3.1

項を並べ替えます。

$25 x^{2} - 40 x + 16 = 0$

ステップ 3.2

$25 x^{2}$ を ${(5 x)}^{2}$ に書き換えます。

${(5 x)}^{2} - 40 x + 16 = 0$

ステップ 3.3

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

${(5 x)}^{2} - 40 x + 4^{2} = 0$

ステップ 3.4

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$40 x = 2 \cdot (5 x) \cdot 4$

ステップ 3.5

多項式を書き換えます。

${(5 x)}^{2} - 2 \cdot (5 x) \cdot 4 + 4^{2} = 0$

ステップ 3.6

$a = 5 x$ と $b = 4$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(5 x - 4)}^{2} = 0$

ステップ 4

$5 x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$5 x - 4 = 0$

ステップ 5

$x$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$5 x = 4$

ステップ 5.2

$5 x = 4$ の各項を $5$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.1

$5 x = 4$ の各項を $5$ で割ります。

$\frac{5 x}{5} = \frac{4}{5}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 x}{5} = \frac{4}{5}$

ステップ 5.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{4}{5}$

ステップ 6

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < \frac{4}{5}$

$x > \frac{4}{5}$

ステップ 7

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 7.1

区間 $x < \frac{4}{5}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.1.1

区間 $x < \frac{4}{5}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 7.1.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$25 {(0)}^{2} + 16 < 40 (0)$

ステップ 7.1.3

左辺 $16$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 7.2

区間 $x > \frac{4}{5}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.2.1

区間 $x > \frac{4}{5}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 7.2.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$25 {(3)}^{2} + 16 < 40 (3)$

ステップ 7.2.3

左辺 $241$ は右辺 $120$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 7.3

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < \frac{4}{5}$ 偽

$x > \frac{4}{5}$ 偽

$x < \frac{4}{5}$ 偽

$x > \frac{4}{5}$ 偽

ステップ 8

この区間になる数がないので、この不等式に解はありません。

解がありません

微分積分学準備 例

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