微分積分学準備例

$2 x > \frac{4}{x + 1}$

ステップ 1

不等式の両辺から $\frac{4}{x + 1}$ を引きます。

$2 x - \frac{4}{x + 1} > 0$

ステップ 2

$2 x - \frac{4}{x + 1}$ を簡約します。

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ステップ 2.1

$2 x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 1}{x + 1}$ を掛けます。

$\frac{2 x (x + 1)}{x + 1} - \frac{4}{x + 1} > 0$

ステップ 2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 x (x + 1) - 4}{x + 1} > 0$

ステップ 2.3

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$2$ を $2 x (x + 1) - 4$ で因数分解します。

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ステップ 2.3.1.1

$2$ を $2 x (x + 1)$ で因数分解します。

$\frac{2 (x (x + 1)) - 4}{x + 1} > 0$

ステップ 2.3.1.2

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$\frac{2 (x (x + 1)) + 2 \cdot - 2}{x + 1} > 0$

ステップ 2.3.1.3

$2$ を $2 (x (x + 1)) + 2 \cdot - 2$ で因数分解します。

$\frac{2 (x (x + 1) - 2)}{x + 1} > 0$

ステップ 2.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 1 - 2)}{x + 1} > 0$

ステップ 2.3.3

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 (x^{2} + x \cdot 1 - 2)}{x + 1} > 0$

ステップ 2.3.4

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (x^{2} + x - 2)}{x + 1} > 0$

ステップ 2.3.5

たすき掛けを利用して $x^{2} + x - 2$ を因数分解します。

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ステップ 2.3.5.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 2$ で、その和が $1$ です。

$- 1, 2$

ステップ 2.3.5.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{2 ((x - 1) (x + 2))}{x + 1} > 0$

$\frac{2 (x - 1) (x + 2)}{x + 1} > 0$

ステップ 3

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 4

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 5

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 6

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 7

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = 1$

$x = - 2$

$x = - 1$

ステップ 8

解をまとめます。

$x = 1, - 2, - 1$

ステップ 9

$\frac{2 (x - 1) (x + 2)}{x + 1}$ の定義域を求めます。

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ステップ 9.1

$\frac{2 (x - 1) (x + 2)}{x + 1}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x + 1 = 0$

ステップ 9.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 9.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

ステップ 10

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 2$

$- 2 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

ステップ 11

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 11.1

区間 $x < - 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.1.1

区間 $x < - 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 11.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$2 (- 4) > \frac{4}{(- 4) + 1}$

ステップ 11.1.3

左辺 $- 8$ は右辺 $- 1.\overline{3}$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 11.2

区間 $- 2 < x < - 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.2.1

区間 $- 2 < x < - 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 1.5$

ステップ 11.2.2

$x$ を元の不等式の $- 1.5$ で置き換えます。

$2 (- 1.5) > \frac{4}{(- 1.5) + 1}$

ステップ 11.2.3

左辺 $- 3$ は右辺 $- 8$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 11.3

区間 $- 1 < x < 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.3.1

区間 $- 1 < x < 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 11.3.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$2 (0) > \frac{4}{(0) + 1}$

ステップ 11.3.3

左辺 $0$ は右辺 $4$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 11.4

区間 $x > 1$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.4.1

区間 $x > 1$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 11.4.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$2 (4) > \frac{4}{(4) + 1}$

ステップ 11.4.3

左辺 $8$ は右辺 $0.8$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 11.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 2$ 偽

$- 2 < x < - 1$ 真

$- 1 < x < 1$ 偽

$x > 1$ 真

$x < - 2$ 偽

$- 2 < x < - 1$ 真

$- 1 < x < 1$ 偽

$x > 1$ 真

ステップ 12

解はすべての真の区間からなります。

$- 2 < x < - 1$ または $x > 1$

ステップ 13

不等式を区間記号に変換します。

$(- 2, - 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 14

微分積分学準備 例

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