微分積分学準備例

$- 2 x {(x + 4)}^{2} (x^{2} + 4) {(4 - x)}^{3} > 0$

ステップ 1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

${(x + 4)}^{2} = 0$

$x^{2} + 4 = 0$

${(4 - x)}^{3} = 0$

ステップ 2

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 3

${(x + 4)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.1

${(x + 4)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 4)}^{2} = 0$

ステップ 3.2

$x$ について ${(x + 4)}^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 4

$x^{2} + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$x^{2} + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 4 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $x^{2} + 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x^{2} = - 4$

ステップ 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

ステップ 4.2.3

$\pm \sqrt{- 4}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

ステップ 4.2.3.2

$\sqrt{- 1 (4)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

ステップ 4.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

ステップ 4.2.3.4

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

ステップ 4.2.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \cdot 2$

ステップ 4.2.3.6

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \pm 2 i$

ステップ 4.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 4.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2 i$

ステップ 4.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2 i$

ステップ 4.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2 i, - 2 i$

ステップ 5

${(4 - x)}^{3}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

${(4 - x)}^{3}$ が $0$ に等しいとします。

${(4 - x)}^{3} = 0$

ステップ 5.2

$x$ について ${(4 - x)}^{3} = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

$4 - x$ が $0$ に等しいとします。

$4 - x = 0$

ステップ 5.2.2

$x$ について解きます。

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ステップ 5.2.2.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$- x = - 4$

ステップ 5.2.2.2

$- x = - 4$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.2.2.1

$- x = - 4$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 5.2.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 5.2.2.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 5.2.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.2.3.1

$- 4$ を $- 1$ で割ります。

$x = 4$

ステップ 6

最終解は $- 2 x {(x + 4)}^{2} (x^{2} + 4) {(4 - x)}^{3} > 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 4, 2 i, - 2 i, 4$

ステップ 7

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

ステップ 8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 8.1

区間 $x < - 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.1.1

区間 $x < - 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 8.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$- 2 \cdot - 6 {((- 6) + 4)}^{2} ({(- 6)}^{2} + 4) {(4 - (- 6))}^{3} > 0$

ステップ 8.1.3

左辺 $1920000$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 8.2

区間 $- 4 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.2.1

区間 $- 4 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 8.2.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$- 2 \cdot - 2 {((- 2) + 4)}^{2} ({(- 2)}^{2} + 4) {(4 - (- 2))}^{3} > 0$

ステップ 8.2.3

左辺 $27648$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 8.3

区間 $0 < x < 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.3.1

区間 $0 < x < 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 8.3.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$- 2 \cdot 2 {((2) + 4)}^{2} ({(2)}^{2} + 4) {(4 - (2))}^{3} > 0$

ステップ 8.3.3

左辺 $- 9216$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 8.4

区間 $x > 4$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 8.4.1

区間 $x > 4$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 6$

ステップ 8.4.2

$x$ を元の不等式の $6$ で置き換えます。

$- 2 \cdot 6 {((6) + 4)}^{2} ({(6)}^{2} + 4) {(4 - (6))}^{3} > 0$

ステップ 8.4.3

左辺 $384000$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 8.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 4$ 真

$- 4 < x < 0$ 真

$0 < x < 4$ 偽

$x > 4$ 真

$x < - 4$ 真

$- 4 < x < 0$ 真

$0 < x < 4$ 偽

$x > 4$ 真

ステップ 9

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 4$ または $- 4 < x < 0$ または $x > 4$

ステップ 10

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (4, \infty)$

ステップ 11

微分積分学準備 例

微分積分学準備例