微分積分学準備例

$y^{2} + 49 > 14 y$

ステップ 1

不等式の両辺から $14 y$ を引きます。

$y^{2} + 49 - 14 y > 0$

ステップ 2

不等式を方程式に変換します。

$y^{2} + 49 - 14 y = 0$

ステップ 3

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 3.1

項を並べ替えます。

$y^{2} - 14 y + 49 = 0$

ステップ 3.2

$49$ を $7^{2}$ に書き換えます。

$y^{2} - 14 y + 7^{2} = 0$

ステップ 3.3

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$14 y = 2 \cdot y \cdot 7$

ステップ 3.4

多項式を書き換えます。

$y^{2} - 2 \cdot y \cdot 7 + 7^{2} = 0$

ステップ 3.5

$a = y$ と $b = 7$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

${(y - 7)}^{2} = 0$

${(y - 7)}^{2} = 0$

ステップ 4

$y - 7$ が $0$ に等しいとします。

$y - 7 = 0$

ステップ 5

方程式の両辺に $7$ を足します。

$y = 7$

ステップ 6

各根を利用して検定区間を作成します。

$y < 7$

$y > 7$

ステップ 7

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 7.1

区間 $y < 7$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.1.1

区間 $y < 7$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$y = 0$

ステップ 7.1.2

$y$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

${(0)}^{2} + 49 > 14 (0)$

ステップ 7.1.3

左辺 $49$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

True

ステップ 7.2

区間 $y > 7$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 7.2.1

区間 $y > 7$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$y = 10$

ステップ 7.2.2

$y$ を元の不等式の $10$ で置き換えます。

${(10)}^{2} + 49 > 14 (10)$

ステップ 7.2.3

左辺 $149$ は右辺 $140$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

True

ステップ 7.3

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$y < 7$ 真

$y > 7$ 真

$y < 7$ 真

$y > 7$ 真

ステップ 8

解はすべての真の区間からなります。

$y < 7$ または $y > 7$

ステップ 9

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, 7) \cup (7, \infty)$

ステップ 10

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$