微分積分学準備例

$\frac{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}{\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y^{2}}}$

ステップ 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $y^{2} x^{2}$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\frac{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}{\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y^{2}}}$ に $\frac{y^{2} x^{2}}{y^{2} x^{2}}$ をかけます。

$\frac{y^{2} x^{2}}{y^{2} x^{2}} \cdot \frac{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}{\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y^{2}}}$

ステップ 1.2

まとめる。

$\frac{y^{2} x^{2} (\frac{x}{y} - \frac{y}{x})}{y^{2} x^{2} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y^{2}})}$

ステップ 2

分配則を当てはめます。

$\frac{y^{2} x^{2} \frac{x}{y} + y^{2} x^{2} (- \frac{y}{x})}{y^{2} x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

ステップ 3

約分で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$y$ を $y^{2} x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{y (y x^{2}) \frac{x}{y} + y^{2} x^{2} (- \frac{y}{x})}{y^{2} x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

ステップ 3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{y (y x^{2}) \frac{x}{y} + y^{2} x^{2} (- \frac{y}{x})}{y^{2} x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

ステップ 3.1.3

式を書き換えます。

$\frac{y x^{2} x + y^{2} x^{2} (- \frac{y}{x})}{y^{2} x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

ステップ 3.2

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{y (x^{1} x^{2}) + y^{2} x^{2} (- \frac{y}{x})}{y^{2} x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

ステップ 3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{y x^{1 + 2} + y^{2} x^{2} (- \frac{y}{x})}{y^{2} x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

ステップ 3.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{y x^{3} + y^{2} x^{2} (- \frac{y}{x})}{y^{2} x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

ステップ 3.5

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.1

$- \frac{y}{x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{y x^{3} + y^{2} x^{2} \frac{- y}{x}}{y^{2} x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

ステップ 3.5.2

$x$ を $y^{2} x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{y x^{3} + x (y^{2} x) \frac{- y}{x}}{y^{2} x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

ステップ 3.5.3

共通因数を約分します。

$\frac{y x^{3} + x (y^{2} x) \frac{- y}{x}}{y^{2} x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

ステップ 3.5.4

式を書き換えます。

$\frac{y x^{3} + y^{2} x (- y)}{y^{2} x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

ステップ 3.6

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{y x^{3} + x (- (y^{2} y^{1}))}{y^{2} x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

ステップ 3.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{y x^{3} + x (- y^{2 + 1})}{y^{2} x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

ステップ 3.8

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{y x^{3} + x (- y^{3})}{y^{2} x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

ステップ 3.9

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.9.1

$x^{2}$ を $y^{2} x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{y x^{3} + x (- y^{3})}{x^{2} y^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

ステップ 3.9.2

共通因数を約分します。

$\frac{y x^{3} + x (- y^{3})}{x^{2} y^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

ステップ 3.9.3

式を書き換えます。

$\frac{y x^{3} + x (- y^{3})}{y^{2} + y^{2} x^{2} (- \frac{1}{y^{2}})}$

ステップ 3.10

$y^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.10.1

$- \frac{1}{y^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{y x^{3} + x (- y^{3})}{y^{2} + y^{2} x^{2} \frac{- 1}{y^{2}}}$

ステップ 3.10.2

$y^{2}$ を $y^{2} x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{y x^{3} + x (- y^{3})}{y^{2} + y^{2} (x^{2}) \frac{- 1}{y^{2}}}$

ステップ 3.10.3

共通因数を約分します。

$\frac{y x^{3} + x (- y^{3})}{y^{2} + y^{2} x^{2} \frac{- 1}{y^{2}}}$

ステップ 3.10.4

式を書き換えます。

$\frac{y x^{3} + x (- y^{3})}{y^{2} + x^{2} \cdot - 1}$

ステップ 4

分子を簡約します。

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ステップ 4.1

$y x$ を $y x^{3} + x (- y^{3})$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.1

$y x$ を $y x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{y x (x^{2}) + x (- y^{3})}{y^{2} + x^{2} \cdot - 1}$

ステップ 4.1.2

$y x$ を $x (- y^{3})$ で因数分解します。

$\frac{y x (x^{2}) + y x (- y^{2})}{y^{2} + x^{2} \cdot - 1}$

ステップ 4.1.3

$y x$ を $y x (x^{2}) + y x (- y^{2})$ で因数分解します。

$\frac{y x (x^{2} - y^{2})}{y^{2} + x^{2} \cdot - 1}$

ステップ 4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = y$ です。

$\frac{y x (x + y) (x - y)}{y^{2} + x^{2} \cdot - 1}$

ステップ 5

分母を簡約します。

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ステップ 5.1

$- 1$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{y x (x + y) (x - y)}{y^{2} - 1 \cdot x^{2}}$

ステップ 5.2

$- 1 x^{2}$ を $- x^{2}$ に書き換えます。

$\frac{y x (x + y) (x - y)}{y^{2} - x^{2}}$

ステップ 5.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = y$ であり、 $b = x$ です。

$\frac{y x (x + y) (x - y)}{(y + x) (y - x)}$

ステップ 6

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 6.1

$x + y$ と $y + x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.1

項を並べ替えます。

$\frac{y x (x + y) (x - y)}{(x + y) (y - x)}$

ステップ 6.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{y x (x + y) (x - y)}{(x + y) (y - x)}$

ステップ 6.1.3

式を書き換えます。

$\frac{y x (x - y)}{y - x}$

ステップ 6.2

$x - y$ と $y - x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1

$- 1$ を $x$ で因数分解します。

$\frac{y x (- 1 (- x) - y)}{y - x}$

ステップ 6.2.2

$- 1$ を $- y$ で因数分解します。

$\frac{y x (- 1 (- x) - (y))}{y - x}$

ステップ 6.2.3

$- 1$ を $- 1 (- x) - (y)$ で因数分解します。

$\frac{y x (- 1 (- x + y))}{y - x}$

ステップ 6.2.4

項を並べ替えます。

$\frac{y x (- 1 (- x + y))}{- x + y}$

ステップ 6.2.5

共通因数を約分します。

$\frac{y x (- 1 (- x + y))}{- x + y}$

ステップ 6.2.6

$y x \cdot (- 1)$ を $1$ で割ります。

$y x \cdot (- 1)$

ステップ 6.3

式を簡約します。

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ステップ 6.3.1

$- 1$ を $y x$ の左に移動させます。

$- 1 \cdot (y x)$

ステップ 6.3.2

$- 1 (y x)$ を $- (y x)$ に書き換えます。

$- y x$

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