微分積分学準備例

$x^{2} - 12 > - 2 x^{2} - 16 x$

ステップ 1

$x$ が不等式の左辺になるように書き換えます。

$- 2 x^{2} - 16 x < x^{2} - 12$

ステップ 2

$x$ を含むすべての項を不等式の左辺に移動させます。

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ステップ 2.1

不等式の両辺から $x^{2}$ を引きます。

$- 2 x^{2} - 16 x - x^{2} < - 12$

ステップ 2.2

$- 2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$- 3 x^{2} - 16 x < - 12$

ステップ 3

不等式を方程式に変換します。

$- 3 x^{2} - 16 x = - 12$

ステップ 4

方程式の両辺に $12$ を足します。

$- 3 x^{2} - 16 x + 12 = 0$

ステップ 5

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 5.1

$- 1$ を $- 3 x^{2} - 16 x + 12$ で因数分解します。

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ステップ 5.1.1

$- 1$ を $- 3 x^{2}$ で因数分解します。

$- (3 x^{2}) - 16 x + 12 = 0$

ステップ 5.1.2

$- 1$ を $- 16 x$ で因数分解します。

$- (3 x^{2}) - (16 x) + 12 = 0$

ステップ 5.1.3

$12$ を $- 1 (- 12)$ に書き換えます。

$- (3 x^{2}) - (16 x) - 1 \cdot - 12 = 0$

ステップ 5.1.4

$- 1$ を $- (3 x^{2}) - (16 x)$ で因数分解します。

$- (3 x^{2} + 16 x) - 1 \cdot - 12 = 0$

ステップ 5.1.5

$- 1$ を $- (3 x^{2} + 16 x) - 1 (- 12)$ で因数分解します。

$- (3 x^{2} + 16 x - 12) = 0$

ステップ 5.2

因数分解。

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ステップ 5.2.1

群による因数分解。

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ステップ 5.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot - 12 = - 36$ で和が $b = 16$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 5.2.1.1.1

$16$ を $16 x$ で因数分解します。

$- (3 x^{2} + 16 (x) - 12) = 0$

ステップ 5.2.1.1.2

$16$ を $- 2$ プラス $18$ に書き換える

$- (3 x^{2} + (- 2 + 18) x - 12) = 0$

ステップ 5.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$- (3 x^{2} - 2 x + 18 x - 12) = 0$

ステップ 5.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 5.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$- ((3 x^{2} - 2 x) + 18 x - 12) = 0$

ステップ 5.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$- (x (3 x - 2) + 6 (3 x - 2)) = 0$

ステップ 5.2.1.3

最大公約数 $3 x - 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$- ((3 x - 2) (x + 6)) = 0$

ステップ 5.2.2

不要な括弧を削除します。

$- (3 x - 2) (x + 6) = 0$

ステップ 6

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 x - 2 = 0$

$x + 6 = 0$

ステップ 7

$3 x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.1

$3 x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$3 x - 2 = 0$

ステップ 7.2

$x$ について $3 x - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 7.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$3 x = 2$

ステップ 7.2.2

$3 x = 2$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$3 x = 2$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

ステップ 7.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

ステップ 7.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{2}{3}$

ステップ 8

$x + 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 8.1

$x + 6$ が $0$ に等しいとします。

$x + 6 = 0$

ステップ 8.2

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$x = - 6$

ステップ 9

最終解は $- (3 x - 2) (x + 6) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{2}{3}, - 6$

ステップ 10

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 6$

$- 6 < x < \frac{2}{3}$

$x > \frac{2}{3}$

ステップ 11

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 11.1

区間 $x < - 6$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.1.1

区間 $x < - 6$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 8$

ステップ 11.1.2

$x$ を元の不等式の $- 8$ で置き換えます。

${(- 8)}^{2} - 12 > - 2 {(- 8)}^{2} - 16 \cdot - 8$

ステップ 11.1.3

左辺 $52$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 11.2

区間 $- 6 < x < \frac{2}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.2.1

区間 $- 6 < x < \frac{2}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 11.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

${(0)}^{2} - 12 > - 2 {(0)}^{2} - 16 \cdot 0$

ステップ 11.2.3

左辺 $- 12$ は右辺 $0$ より大きくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 11.3

区間 $x > \frac{2}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.3.1

区間 $x > \frac{2}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 11.3.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

${(3)}^{2} - 12 > - 2 {(3)}^{2} - 16 \cdot 3$

ステップ 11.3.3

左辺 $- 3$ は右辺 $- 66$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 11.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 6$ 真

$- 6 < x < \frac{2}{3}$ 偽

$x > \frac{2}{3}$ 真

$x < - 6$ 真

$- 6 < x < \frac{2}{3}$ 偽

$x > \frac{2}{3}$ 真

ステップ 12

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 6$ または $x > \frac{2}{3}$

ステップ 13

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, - 6) \cup (\frac{2}{3}, \infty)$

ステップ 14

微分積分学準備 例

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