微分積分学準備例

$| 2 x^{2} + 7 x - 15 | < 10$

ステップ 1

$| 2 x^{2} + 7 x - 15 | < 10$ を区分で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

1番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負でない場所を求めます。

$2 x^{2} + 7 x - 15 \geq 0$

ステップ 1.2

不等式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

不等式を方程式に変換します。

$2 x^{2} + 7 x - 15 = 0$

ステップ 1.2.2

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ で和が $b = 7$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1.1

$7$ を $7 x$ で因数分解します。

$2 x^{2} + 7 (x) - 15 = 0$

ステップ 1.2.2.1.2

$7$ を $- 3$ プラス $10$ に書き換える

$2 x^{2} + (- 3 + 10) x - 15 = 0$

ステップ 1.2.2.1.3

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} - 3 x + 10 x - 15 = 0$

ステップ 1.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(2 x^{2} - 3 x) + 10 x - 15 = 0$

ステップ 1.2.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (2 x - 3) + 5 (2 x - 3) = 0$

ステップ 1.2.2.3

最大公約数 $2 x - 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(2 x - 3) (x + 5) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

ステップ 1.2.4

$2 x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

$2 x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$2 x - 3 = 0$

ステップ 1.2.4.2

$x$ について $2 x - 3 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$2 x = 3$

ステップ 1.2.4.2.2

$2 x = 3$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.2.1

$2 x = 3$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

ステップ 1.2.4.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

ステップ 1.2.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{3}{2}$

ステップ 1.2.5

$x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

$x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$x + 5 = 0$

ステップ 1.2.5.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 1.2.6

最終解は $(2 x - 3) (x + 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{3}{2}, - 5$

ステップ 1.2.7

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 5$

$- 5 < x < \frac{3}{2}$

$x > \frac{3}{2}$

ステップ 1.2.8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.1

区間 $x < - 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.1.1

区間 $x < - 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 8$

ステップ 1.2.8.1.2

$x$ を元の不等式の $- 8$ で置き換えます。

$2 {(- 8)}^{2} + 7 (- 8) - 15 \geq 0$

ステップ 1.2.8.1.3

左辺 $57$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 1.2.8.2

区間 $- 5 < x < \frac{3}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.2.1

区間 $- 5 < x < \frac{3}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 1.2.8.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$2 {(0)}^{2} + 7 (0) - 15 \geq 0$

ステップ 1.2.8.2.3

左辺 $- 15$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 1.2.8.3

区間 $x > \frac{3}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.8.3.1

区間 $x > \frac{3}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 1.2.8.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$2 {(4)}^{2} + 7 (4) - 15 \geq 0$

ステップ 1.2.8.3.3

左辺 $45$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 1.2.8.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 5$ 真

$- 5 < x < \frac{3}{2}$ 偽

$x > \frac{3}{2}$ 真

$x < - 5$ 真

$- 5 < x < \frac{3}{2}$ 偽

$x > \frac{3}{2}$ 真

ステップ 1.2.9

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq - 5$ または $x \geq \frac{3}{2}$

ステップ 1.3

$2 x^{2} + 7 x - 15$ が負でない区分では、絶対値を削除します。

$2 x^{2} + 7 x - 15 < 10$

ステップ 1.4

2番目の区分の区間を求めるために、絶対値の中が負になる場所を求めます。

$2 x^{2} + 7 x - 15 < 0$

ステップ 1.5

不等式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

不等式を方程式に変換します。

$2 x^{2} + 7 x - 15 = 0$

ステップ 1.5.2

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 15 = - 30$ で和が $b = 7$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.1.1

$7$ を $7 x$ で因数分解します。

$2 x^{2} + 7 (x) - 15 = 0$

ステップ 1.5.2.1.2

$7$ を $- 3$ プラス $10$ に書き換える

$2 x^{2} + (- 3 + 10) x - 15 = 0$

ステップ 1.5.2.1.3

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} - 3 x + 10 x - 15 = 0$

ステップ 1.5.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(2 x^{2} - 3 x) + 10 x - 15 = 0$

ステップ 1.5.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (2 x - 3) + 5 (2 x - 3) = 0$

ステップ 1.5.2.3

最大公約数 $2 x - 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(2 x - 3) (x + 5) = 0$

ステップ 1.5.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

ステップ 1.5.4

$2 x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.1

$2 x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$2 x - 3 = 0$

ステップ 1.5.4.2

$x$ について $2 x - 3 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$2 x = 3$

ステップ 1.5.4.2.2

$2 x = 3$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.2.1

$2 x = 3$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

ステップ 1.5.4.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

ステップ 1.5.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{3}{2}$

ステップ 1.5.5

$x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.5.1

$x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$x + 5 = 0$

ステップ 1.5.5.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 1.5.6

最終解は $(2 x - 3) (x + 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{3}{2}, - 5$

ステップ 1.5.7

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 5$

$- 5 < x < \frac{3}{2}$

$x > \frac{3}{2}$

ステップ 1.5.8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.8.1

区間 $x < - 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.8.1.1

区間 $x < - 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 8$

ステップ 1.5.8.1.2

$x$ を元の不等式の $- 8$ で置き換えます。

$2 {(- 8)}^{2} + 7 (- 8) - 15 < 0$

ステップ 1.5.8.1.3

左辺 $57$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 1.5.8.2

区間 $- 5 < x < \frac{3}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.8.2.1

区間 $- 5 < x < \frac{3}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 1.5.8.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$2 {(0)}^{2} + 7 (0) - 15 < 0$

ステップ 1.5.8.2.3

左辺 $- 15$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 1.5.8.3

区間 $x > \frac{3}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.8.3.1

区間 $x > \frac{3}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 1.5.8.3.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$2 {(4)}^{2} + 7 (4) - 15 < 0$

ステップ 1.5.8.3.3

左辺 $45$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 1.5.8.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 5$ 偽

$- 5 < x < \frac{3}{2}$ 真

$x > \frac{3}{2}$ 偽

$x < - 5$ 偽

$- 5 < x < \frac{3}{2}$ 真

$x > \frac{3}{2}$ 偽

ステップ 1.5.9

解はすべての真の区間からなります。

$- 5 < x < \frac{3}{2}$

ステップ 1.6

$2 x^{2} + 7 x - 15$ が負である区分では、絶対値を取り除き $- 1$ を掛けます。

$- (2 x^{2} + 7 x - 15) < 10$

ステップ 1.7

区分で書きます。

${\begin{cases} 2 x^{2} + 7 x - 15 < 10 & x \leq - 5 or x \geq \frac{3}{2} \\ - (2 x^{2} + 7 x - 15) < 10 & - 5 < x < \frac{3}{2} \end{cases}$

ステップ 1.8

$- (2 x^{2} + 7 x - 15) < 10$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.1

分配則を当てはめます。

${\begin{cases} 2 x^{2} + 7 x - 15 < 10 & x \leq - 5 or x \geq \frac{3}{2} \\ - (2 x^{2}) - (7 x) - - 15 < 10 & - 5 < x < \frac{3}{2} \end{cases}$

ステップ 1.8.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.8.2.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

${\begin{cases} 2 x^{2} + 7 x - 15 < 10 & x \leq - 5 or x \geq \frac{3}{2} \\ - 2 x^{2} - (7 x) - - 15 < 10 & - 5 < x < \frac{3}{2} \end{cases}$

ステップ 1.8.2.2

$7$ に $- 1$ をかけます。

${\begin{cases} 2 x^{2} + 7 x - 15 < 10 & x \leq - 5 or x \geq \frac{3}{2} \\ - 2 x^{2} - 7 x - - 15 < 10 & - 5 < x < \frac{3}{2} \end{cases}$

ステップ 1.8.2.3

$- 1$ に $- 15$ をかけます。

${\begin{cases} 2 x^{2} + 7 x - 15 < 10 & x \leq - 5 or x \geq \frac{3}{2} \\ - 2 x^{2} - 7 x + 15 < 10 & - 5 < x < \frac{3}{2} \end{cases}$

ステップ 2

$x \leq - 5 or x \geq \frac{3}{2}$ のとき、 $2 x^{2} + 7 x - 15 < 10$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x$ について $2 x^{2} + 7 x - 15 < 10$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させ、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

不等式の両辺から $10$ を引きます。

$2 x^{2} + 7 x - 15 - 10 < 0$

ステップ 2.1.1.2

$- 15$ から $10$ を引きます。

$2 x^{2} + 7 x - 25 < 0$

ステップ 2.1.2

不等式を方程式に変換します。

$2 x^{2} + 7 x - 25 = 0$

ステップ 2.1.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.1.4

$a = 2$ 、 $b = 7$ 、および $c = - 25$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 25)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.1.1

$7$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 25}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.1.5.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot - 25$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.1.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 25}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.1.5.1.2.2

$- 8$ に $- 25$ をかけます。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 200}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.1.5.1.3

$49$ と $200$ をたし算します。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{249}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.1.5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{249}}{4}$

ステップ 2.1.6

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.1.1

$7$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 25}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.1.6.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot - 25$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.1.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 25}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.1.6.1.2.2

$- 8$ に $- 25$ をかけます。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 200}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.1.6.1.3

$49$ と $200$ をたし算します。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{249}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.1.6.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{249}}{4}$

ステップ 2.1.6.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{- 7 + \sqrt{249}}{4}$

ステップ 2.1.6.4

$- 7$ を $- 1 (7)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 7 + \sqrt{249}}{4}$

ステップ 2.1.6.5

$- 1$ を $\sqrt{249}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - 1 (- \sqrt{249})}{4}$

ステップ 2.1.6.6

$- 1$ を $- 1 (7) - 1 (- \sqrt{249})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (7 - \sqrt{249})}{4}$

ステップ 2.1.6.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$

ステップ 2.1.7

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.7.1.1

$7$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 25}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.1.7.1.2

$- 4 \cdot 2 \cdot - 25$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.7.1.2.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 25}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.1.7.1.2.2

$- 8$ に $- 25$ をかけます。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 200}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.1.7.1.3

$49$ と $200$ をたし算します。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{249}}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.1.7.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{249}}{4}$

ステップ 2.1.7.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{- 7 - \sqrt{249}}{4}$

ステップ 2.1.7.4

$- 7$ を $- 1 (7)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - \sqrt{249}}{4}$

ステップ 2.1.7.5

$- 1$ を $- \sqrt{249}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - (\sqrt{249})}{4}$

ステップ 2.1.7.6

$- 1$ を $- 1 (7) - (\sqrt{249})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (7 + \sqrt{249})}{4}$

ステップ 2.1.7.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$

ステップ 2.1.8

解をまとめます。

$x = - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}, - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$

ステップ 2.1.9

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$

$- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$

$x > - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$

ステップ 2.1.10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.10.1

区間 $x < - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.10.1.1

区間 $x < - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 8$

ステップ 2.1.10.1.2

$x$ を元の不等式の $- 8$ で置き換えます。

$2 {(- 8)}^{2} + 7 (- 8) - 15 < 10$

ステップ 2.1.10.1.3

左辺 $57$ は右辺 $10$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 2.1.10.2

区間 $- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.10.2.1

区間 $- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 2.1.10.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$2 {(0)}^{2} + 7 (0) - 15 < 10$

ステップ 2.1.10.2.3

左辺 $- 15$ は右辺 $10$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 2.1.10.3

区間 $x > - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.10.3.1

区間 $x > - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 5$

ステップ 2.1.10.3.2

$x$ を元の不等式の $5$ で置き換えます。

$2 {(5)}^{2} + 7 (5) - 15 < 10$

ステップ 2.1.10.3.3

左辺 $70$ は右辺 $10$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 2.1.10.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$ 偽

$- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ 真

$x > - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ 偽

$x < - \frac{7 + \sqrt{249}}{4}$ 偽

$- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ 真

$x > - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ 偽

ステップ 2.1.11

解はすべての真の区間からなります。

$- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$

ステップ 2.2

$- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$ と $x \leq - 5 o r + x \geq \frac{3}{2}$ の交点を求めます。

$- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x \leq - 5$ または $\frac{3}{2} \leq x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$

ステップ 3

$- 5 < x < \frac{3}{2}$ のとき、 $- 2 x^{2} - 7 x + 15 < 10$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x$ について $- 2 x^{2} - 7 x + 15 < 10$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

変数を含むすべての項を方程式の左辺に移動させ、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1.1

不等式の両辺から $10$ を引きます。

$- 2 x^{2} - 7 x + 15 - 10 < 0$

ステップ 3.1.1.2

$15$ から $10$ を引きます。

$- 2 x^{2} - 7 x + 5 < 0$

ステップ 3.1.2

不等式を方程式に変換します。

$- 2 x^{2} - 7 x + 5 = 0$

ステップ 3.1.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.1.4

$a = - 2$ 、 $b = - 7$ 、および $c = 5$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{7 \pm \sqrt{{(- 7)}^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot 5)}}{2 \cdot - 2}$

ステップ 3.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.5.1.1

$- 7$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 2 \cdot 5}}{2 \cdot - 2}$

ステップ 3.1.5.1.2

$- 4 \cdot - 2 \cdot 5$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.5.1.2.1

$- 4$ に $- 2$ をかけます。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 8 \cdot 5}}{2 \cdot - 2}$

ステップ 3.1.5.1.2.2

$8$ に $5$ をかけます。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 40}}{2 \cdot - 2}$

ステップ 3.1.5.1.3

$49$ と $40$ をたし算します。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{2 \cdot - 2}$

ステップ 3.1.5.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{- 4}$

ステップ 3.1.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{7 \pm \sqrt{89}}{4}$

ステップ 3.1.6

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.6.1.1

$- 7$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 2 \cdot 5}}{2 \cdot - 2}$

ステップ 3.1.6.1.2

$- 4 \cdot - 2 \cdot 5$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.6.1.2.1

$- 4$ に $- 2$ をかけます。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 8 \cdot 5}}{2 \cdot - 2}$

ステップ 3.1.6.1.2.2

$8$ に $5$ をかけます。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 40}}{2 \cdot - 2}$

ステップ 3.1.6.1.3

$49$ と $40$ をたし算します。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{2 \cdot - 2}$

ステップ 3.1.6.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{- 4}$

ステップ 3.1.6.3

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{7 \pm \sqrt{89}}{4}$

ステップ 3.1.6.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$

ステップ 3.1.7

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.7.1.1

$- 7$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot - 2 \cdot 5}}{2 \cdot - 2}$

ステップ 3.1.7.1.2

$- 4 \cdot - 2 \cdot 5$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.7.1.2.1

$- 4$ に $- 2$ をかけます。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 8 \cdot 5}}{2 \cdot - 2}$

ステップ 3.1.7.1.2.2

$8$ に $5$ をかけます。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 40}}{2 \cdot - 2}$

ステップ 3.1.7.1.3

$49$ と $40$ をたし算します。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{2 \cdot - 2}$

ステップ 3.1.7.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$x = \frac{7 \pm \sqrt{89}}{- 4}$

ステップ 3.1.7.3

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{7 \pm \sqrt{89}}{4}$

ステップ 3.1.7.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$

ステップ 3.1.8

解をまとめます。

$x = - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}, - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$

ステップ 3.1.9

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$

$- \frac{7 + \sqrt{89}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$

$x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$

ステップ 3.1.10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.10.1

区間 $x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.10.1.1

区間 $x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 7$

ステップ 3.1.10.1.2

$x$ を元の不等式の $- 7$ で置き換えます。

$- 2 {(- 7)}^{2} - 7 \cdot - 7 + 15 < 10$

ステップ 3.1.10.1.3

左辺 $- 34$ は右辺 $10$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 3.1.10.2

区間 $- \frac{7 + \sqrt{89}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.10.2.1

区間 $- \frac{7 + \sqrt{89}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 3.1.10.2.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$- 2 {(0)}^{2} - 7 \cdot 0 + 15 < 10$

ステップ 3.1.10.2.3

左辺 $15$ は右辺 $10$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 3.1.10.3

区間 $x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.10.3.1

区間 $x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 3.1.10.3.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$- 2 {(3)}^{2} - 7 \cdot 3 + 15 < 10$

ステップ 3.1.10.3.3

左辺 $- 24$ は右辺 $10$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 3.1.10.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ 真

$- \frac{7 + \sqrt{89}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ 偽

$x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ 真

$x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ 真

$- \frac{7 + \sqrt{89}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ 偽

$x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ 真

ステップ 3.1.11

解はすべての真の区間からなります。

$x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ または $x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$

ステップ 3.2

$x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4} or x > - \frac{7 - \sqrt{89}}{4}$ と $- 5 < x < \frac{3}{2}$ の交点を求めます。

$- 5 < x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ または $- \frac{7 - \sqrt{89}}{4} < x < \frac{3}{2}$

ステップ 4

解の和集合を求めます。

$- \frac{7 + \sqrt{249}}{4} < x < - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}$ または $- \frac{7 - \sqrt{89}}{4} < x < - \frac{7 - \sqrt{249}}{4}$

ステップ 5

不等式を区間記号に変換します。

$(- \frac{7 + \sqrt{249}}{4}, - \frac{7 + \sqrt{89}}{4}) \cup (- \frac{7 - \sqrt{89}}{4}, - \frac{7 - \sqrt{249}}{4})$

ステップ 6

微分積分学準備 例

微分積分学準備例