微分積分学準備例

$- \frac{1}{2} x^{2} - \frac{7}{2} x - 5 < 0$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

$x^{2}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{x^{2}}{2} - \frac{7}{2} x - 5 < 0$

ステップ 1.2

$x$ と $\frac{7}{2}$ をまとめます。

$- \frac{x^{2}}{2} - \frac{x \cdot 7}{2} - 5 < 0$

ステップ 1.3

$7$ を $x$ の左に移動させます。

$- \frac{x^{2}}{2} - \frac{7 x}{2} - 5 < 0$

ステップ 2

$- \frac{x^{2}}{2} - \frac{7 x}{2} - 5 < 0$ の各項に $2$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 2.1

$- \frac{x^{2}}{2} - \frac{7 x}{2} - 5 < 0$ の各項に $2$ を掛けます。

$- \frac{x^{2}}{2} \cdot 2 - \frac{7 x}{2} \cdot 2 - 5 \cdot 2 < 0 \cdot 2$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1.1

$- \frac{x^{2}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- x^{2}}{2} \cdot 2 - \frac{7 x}{2} \cdot 2 - 5 \cdot 2 < 0 \cdot 2$

ステップ 2.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- x^{2}}{2} \cdot 2 - \frac{7 x}{2} \cdot 2 - 5 \cdot 2 < 0 \cdot 2$

ステップ 2.2.1.1.3

式を書き換えます。

$- x^{2} - \frac{7 x}{2} \cdot 2 - 5 \cdot 2 < 0 \cdot 2$

ステップ 2.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.2.1

$- \frac{7 x}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- x^{2} + \frac{- 7 x}{2} \cdot 2 - 5 \cdot 2 < 0 \cdot 2$

ステップ 2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$- x^{2} + \frac{- 7 x}{2} \cdot 2 - 5 \cdot 2 < 0 \cdot 2$

ステップ 2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$- x^{2} - 7 x - 5 \cdot 2 < 0 \cdot 2$

ステップ 2.2.1.3

$- 5$ に $2$ をかけます。

$- x^{2} - 7 x - 10 < 0 \cdot 2$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$0$ に $2$ をかけます。

$- x^{2} - 7 x - 10 < 0$

ステップ 3

不等式を方程式に変換します。

$- x^{2} - 7 x - 10 = 0$

ステップ 4

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 4.1

$- 1$ を $- x^{2} - 7 x - 10$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.1

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$- (x^{2}) - 7 x - 10 = 0$

ステップ 4.1.2

$- 1$ を $- 7 x$ で因数分解します。

$- (x^{2}) - (7 x) - 10 = 0$

ステップ 4.1.3

$- 10$ を $- 1 (10)$ に書き換えます。

$- (x^{2}) - (7 x) - 1 \cdot 10 = 0$

ステップ 4.1.4

$- 1$ を $- (x^{2}) - (7 x)$ で因数分解します。

$- (x^{2} + 7 x) - 1 \cdot 10 = 0$

ステップ 4.1.5

$- 1$ を $- (x^{2} + 7 x) - 1 (10)$ で因数分解します。

$- (x^{2} + 7 x + 10) = 0$

ステップ 4.2

因数分解。

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ステップ 4.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 7 x + 10$ を因数分解します。

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ステップ 4.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $10$ で、その和が $7$ です。

$2, 5$

ステップ 4.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- ((x + 2) (x + 5)) = 0$

ステップ 4.2.2

不要な括弧を削除します。

$- (x + 2) (x + 5) = 0$

ステップ 5

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 2 = 0$

$x + 5 = 0$

ステップ 6

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 6.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 7

$x + 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.1

$x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$x + 5 = 0$

ステップ 7.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 8

最終解は $- (x + 2) (x + 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 2, - 5$

ステップ 9

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 5$

$- 5 < x < - 2$

$x > - 2$

ステップ 10

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 10.1

区間 $x < - 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.1.1

区間 $x < - 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 8$

ステップ 10.1.2

$x$ を元の不等式の $- 8$ で置き換えます。

$- \frac{1}{2} \cdot {(- 8)}^{2} - \frac{7}{2} \cdot - 8 - 5 < 0$

ステップ 10.1.3

左辺 $- 9$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 10.2

区間 $- 5 < x < - 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.2.1

区間 $- 5 < x < - 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 10.2.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$- \frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{2} - \frac{7}{2} \cdot - 4 - 5 < 0$

ステップ 10.2.3

左辺 $1$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 10.3

区間 $x > - 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 10.3.1

区間 $x > - 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 10.3.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$- \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{2} - \frac{7}{2} \cdot 0 - 5 < 0$

ステップ 10.3.3

左辺 $- 5$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 10.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 5$ 真

$- 5 < x < - 2$ 偽

$x > - 2$ 真

$x < - 5$ 真

$- 5 < x < - 2$ 偽

$x > - 2$ 真

ステップ 11

解はすべての真の区間からなります。

$x < - 5$ または $x > - 2$

ステップ 12

不等式を区間記号に変換します。

$(- \infty, - 5) \cup (- 2, \infty)$

ステップ 13

微分積分学準備 例

微分積分学準備例