微分積分学準備例

$f (x) = 2 x^{2} - x - 3$ , $\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 1

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ の分子の値を求めます。

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ステップ 1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = 2 {(x + h)}^{2} - (x + h) - 3$

ステップ 1.2

$f (x + h) - f (x)$ の関数指示子を実際の関数に置き換えます。

$(2 {(x + h)}^{2} - (x + h) - 3) - (2 x^{2} - x - 3)$

ステップ 1.3

$(2 {(x + h)}^{2} - (x + h) - 3) - (2 x^{2} - x - 3)$ を簡約します。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

${(x + h)}^{2}$ を $(x + h) (x + h)$ に書き換えます。

$2 ((x + h) (x + h)) - (x + h) - 3 - (2 x^{2} - x - 3)$

ステップ 1.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + h) (x + h)$ を展開します。

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ステップ 1.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$2 (x (x + h) + h (x + h)) - (x + h) - 3 - (2 x^{2} - x - 3)$

ステップ 1.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$2 (x \cdot x + x h + h (x + h)) - (x + h) - 3 - (2 x^{2} - x - 3)$

ステップ 1.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$2 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) - (x + h) - 3 - (2 x^{2} - x - 3)$

ステップ 1.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.3.1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$2 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) - (x + h) - 3 - (2 x^{2} - x - 3)$

ステップ 1.3.1.3.1.2

$h$ に $h$ をかけます。

$2 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) - (x + h) - 3 - (2 x^{2} - x - 3)$

ステップ 1.3.1.3.2

$x h$ と $h x$ をたし算します。

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ステップ 1.3.1.3.2.1

$x$ と $h$ を並べ替えます。

$2 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) - (x + h) - 3 - (2 x^{2} - x - 3)$

ステップ 1.3.1.3.2.2

$h x$ と $h x$ をたし算します。

$2 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - (x + h) - 3 - (2 x^{2} - x - 3)$

ステップ 1.3.1.4

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} + 2 (2 h x) + 2 h^{2} - (x + h) - 3 - (2 x^{2} - x - 3)$

ステップ 1.3.1.5

$2$ に $2$ をかけます。

$2 x^{2} + 4 (h x) + 2 h^{2} - (x + h) - 3 - (2 x^{2} - x - 3)$

ステップ 1.3.1.6

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - x - h - 3 - (2 x^{2} - x - 3)$

ステップ 1.3.1.7

分配則を当てはめます。

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - x - h - 3 - (2 x^{2}) - - x - - 3$

ステップ 1.3.1.8

簡約します。

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ステップ 1.3.1.8.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - x - h - 3 - 2 x^{2} - - x - - 3$

ステップ 1.3.1.8.2

$- - x$ を掛けます。

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ステップ 1.3.1.8.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - x - h - 3 - 2 x^{2} + 1 x - - 3$

ステップ 1.3.1.8.2.2

$x$ に $1$ をかけます。

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - x - h - 3 - 2 x^{2} + x - - 3$

ステップ 1.3.1.8.3

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - x - h - 3 - 2 x^{2} + x + 3$

ステップ 1.3.2

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} - x - h - 3 - 2 x^{2} + x + 3$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 1.3.2.1

$2 x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$4 h x + 2 h^{2} - x - h - 3 + 0 + x + 3$

ステップ 1.3.2.2

$4 h x + 2 h^{2} - x - h - 3$ と $0$ をたし算します。

$4 h x + 2 h^{2} - x - h - 3 + x + 3$

ステップ 1.3.2.3

$- x$ と $x$ をたし算します。

$4 h x + 2 h^{2} - h - 3 + 0 + 3$

ステップ 1.3.2.4

$4 h x + 2 h^{2} - h - 3$ と $0$ をたし算します。

$4 h x + 2 h^{2} - h - 3 + 3$

ステップ 1.3.2.5

$- 3$ と $3$ をたし算します。

$4 h x + 2 h^{2} - h + 0$

ステップ 1.3.2.6

$4 h x + 2 h^{2} - h$ と $0$ をたし算します。

$4 h x + 2 h^{2} - h$

ステップ 2

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ を書き換えます。

$\frac{4 h x + 2 h^{2} - h}{h}$

ステップ 3

$\frac{4 h x + 2 h^{2} - h}{h}$ を簡約します。

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ステップ 3.1

$h$ を $4 h x + 2 h^{2} - h$ で因数分解します。

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ステップ 3.1.1

$h$ を $4 h x$ で因数分解します。

$\frac{h (4 x) + 2 h^{2} - h}{h}$

ステップ 3.1.2

$h$ を $2 h^{2}$ で因数分解します。

$\frac{h (4 x) + h (2 h) - h}{h}$

ステップ 3.1.3

$h$ を $- h$ で因数分解します。

$\frac{h (4 x) + h (2 h) + h \cdot - 1}{h}$

ステップ 3.1.4

$h$ を $h (4 x) + h (2 h)$ で因数分解します。

$\frac{h (4 x + 2 h) + h \cdot - 1}{h}$

ステップ 3.1.5

$h$ を $h (4 x + 2 h) + h \cdot - 1$ で因数分解します。

$\frac{h (4 x + 2 h - 1)}{h}$

ステップ 3.2

$h$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{h (4 x + 2 h - 1)}{h}$

ステップ 3.2.2

$4 x + 2 h - 1$ を $1$ で割ります。

$4 x + 2 h - 1$

ステップ 3.3

$4 x$ と $2 h$ を並べ替えます。

$2 h + 4 x - 1$

微分積分学準備 例

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