微分積分学準備例

$3 x^{4} - x^{2} + 1$

ステップ 1

正の根の可能な数を求めるために、係数の符号を見て、係数の符号が正から負、負から正に変化した回数を数えます。

$f (x) = 3 x^{4} - x^{2} + 1$

ステップ 2

高次の項から低次の項へ $2$ 符号の反転があるので、最大でも $2$ の正の根があります（デカルトの符号法則）。正の根の他の数は、根 $(2 - 2)$ の対を引くことで求めます。

正根： $2$ または $0$

ステップ 3

負の根の可能な数を求めるために、 $x$ を $- x$ に置き換えて符号の比較を繰り返します。

$f (- x) = 3 {(- x)}^{4} - {(- x)}^{2} + 1$

ステップ 4

各項を簡約します。

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ステップ 4.1

積の法則を $- x$ に当てはめます。

$f (- x) = 3 ({(- 1)}^{4} x^{4}) - {(- x)}^{2} + 1$

ステップ 4.2

$- 1$ を $4$ 乗します。

$f (- x) = 3 (1 x^{4}) - {(- x)}^{2} + 1$

ステップ 4.3

$x^{4}$ に $1$ をかけます。

$f (- x) = 3 x^{4} - {(- x)}^{2} + 1$

ステップ 4.4

積の法則を $- x$ に当てはめます。

$f (- x) = 3 x^{4} - ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 1$

ステップ 4.5

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 4.5.1

${(- 1)}^{2}$ を移動させます。

$f (- x) = 3 x^{4} + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 x^{2}) + 1$

ステップ 4.5.2

${(- 1)}^{2}$ に $- 1$ をかけます。

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ステップ 4.5.2.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$f (- x) = 3 x^{4} + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) x^{2}) + 1$

ステップ 4.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f (- x) = 3 x^{4} + {(- 1)}^{2 + 1} x^{2} + 1$

ステップ 4.5.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$f (- x) = 3 x^{4} + {(- 1)}^{3} x^{2} + 1$

ステップ 4.6

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- x) = 3 x^{4} - x^{2} + 1$

ステップ 5

高次の項から低次の項へ $2$ 符号の反転があるので、最大でも $2$ の負の根があります（デカルトの符号法則）。負の根の他の数は、根の対を引くことで求めます（例： $2 - 2$ ）。

負の根： $2$ または $0$

ステップ 6

正根の可能な数は $2$ または $0$ で、負根の可能な数は $2$ または $0$ です。

正根： $2$ または $0$

負の根： $2$ または $0$

微分積分学準備 例

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