微分積分学準備例

$x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

${(2)}^{3} + 2 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 - 8$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = 2$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$8 + 2 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 - 8$

ステップ 4.1.2

指数を足して $2$ に ${(2)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 4.1.2.1

$2$ に ${(2)}^{2}$ をかけます。

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ステップ 4.1.2.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$8 + 2^{1} {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 - 8$

ステップ 4.1.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$8 + 2^{1 + 2} - 4 \cdot 2 - 8$

ステップ 4.1.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$8 + 2^{3} - 4 \cdot 2 - 8$

ステップ 4.1.3

$2$ を $3$ 乗します。

$8 + 8 - 4 \cdot 2 - 8$

ステップ 4.1.4

$- 4$ に $2$ をかけます。

$8 + 8 - 8 - 8$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.1

$8$ と $8$ をたし算します。

$16 - 8 - 8$

ステップ 4.2.2

$16$ から $8$ を引きます。

$8 - 8$

ステップ 4.2.3

$8$ から $8$ を引きます。

$0$

ステップ 5

$2$ は既知の根なので、多項式を $x - 2$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 x - 8}{x - 2}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$2$	$1$	$2$	$- 4$	$- 8$

ステップ 6.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$2$	$1$	$2$	$- 4$	$- 8$

	$1$

ステップ 6.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(2)$ を掛け、 $(2)$ の結果を被除数 $(2)$ の隣の項の下に置きます。

$2$	$1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$2$
	$1$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$2$	$1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$2$
	$1$	$4$

ステップ 6.5

結果 $(4)$ の最新の項目に除数 $(2)$ を掛け、 $(8)$ の結果を被除数 $(- 4)$ の隣の項の下に置きます。

$2$	$1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$2$	$8$
	$1$	$4$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$2$	$1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$2$	$8$
	$1$	$4$	$4$

ステップ 6.7

結果 $(4)$ の最新の項目に除数 $(2)$ を掛け、 $(8)$ の結果を被除数 $(- 8)$ の隣の項の下に置きます。

$2$	$1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$2$	$8$	$8$
	$1$	$4$	$4$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$2$	$1$	$2$	$- 4$	$- 8$
		$2$	$8$	$8$
	$1$	$4$	$4$	$0$

ステップ 6.9

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$1 x^{2} + 4 x + 4$

ステップ 6.10

商の多項式を簡約します。

$x^{2} + 4 x + 4$

ステップ 7

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 7.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$(x - 2) + x^{2} + 4 x + 2^{2}$

ステップ 7.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

ステップ 7.3

多項式を書き換えます。

$(x - 2) + x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}$

ステップ 7.4

$a = x$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$(x - 2) + {(x + 2)}^{2}$

$(x - 2) {(x + 2)}^{2}$

ステップ 8

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 8.1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 8.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x^{3} + 2 x^{2}) - 4 x - 8 = 0$

ステップ 8.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x^{2} (x + 2) - 4 (x + 2) = 0$

ステップ 8.2

最大公約数 $x + 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x + 2) (x^{2} - 4) = 0$

ステップ 8.3

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$(x + 2) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

ステップ 8.4

因数分解。

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ステップ 8.4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$(x + 2) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

ステップ 8.4.2

不要な括弧を削除します。

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) = 0$

ステップ 8.5

指数をまとめます。

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ステップ 8.5.1

$x + 2$ を $1$ 乗します。

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) = 0$

ステップ 8.5.2

$x + 2$ を $1$ 乗します。

$(x + 2) (x + 2) (x - 2) = 0$

ステップ 8.5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${(x + 2)}^{1 + 1} (x - 2) = 0$

ステップ 8.5.4

$1$ と $1$ をたし算します。

${(x + 2)}^{2} (x - 2) = 0$

ステップ 9

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(x + 2)}^{2} = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 10

${(x + 2)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 10.1

${(x + 2)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 2)}^{2} = 0$

ステップ 10.2

$x$ について ${(x + 2)}^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 10.2.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 10.2.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 11

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 11.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 11.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 12

最終解は ${(x + 2)}^{2} (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 2, 2$

ステップ 13

微分積分学準備 例

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