微分積分学準備例

$x^{4} + 10 x^{3} - 15 x^{2} - 40 x + 44$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 11, \pm 22, \pm 44$

$q = \pm 1$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 11, \pm 22, \pm 44$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

${(1)}^{4} + 10 {(1)}^{3} - 15 {(1)}^{2} - 40 \cdot 1 + 44$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = 1$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 10 {(1)}^{3} - 15 {(1)}^{2} - 40 \cdot 1 + 44$

ステップ 4.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 10 \cdot 1 - 15 {(1)}^{2} - 40 \cdot 1 + 44$

ステップ 4.1.3

$10$ に $1$ をかけます。

$1 + 10 - 15 {(1)}^{2} - 40 \cdot 1 + 44$

ステップ 4.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$1 + 10 - 15 \cdot 1 - 40 \cdot 1 + 44$

ステップ 4.1.5

$- 15$ に $1$ をかけます。

$1 + 10 - 15 - 40 \cdot 1 + 44$

ステップ 4.1.6

$- 40$ に $1$ をかけます。

$1 + 10 - 15 - 40 + 44$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.1

$1$ と $10$ をたし算します。

$11 - 15 - 40 + 44$

ステップ 4.2.2

$11$ から $15$ を引きます。

$- 4 - 40 + 44$

ステップ 4.2.3

$- 4$ から $40$ を引きます。

$- 44 + 44$

ステップ 4.2.4

$- 44$ と $44$ をたし算します。

$0$

ステップ 5

$1$ は既知の根なので、多項式を $x - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{4} + 10 x^{3} - 15 x^{2} - 40 x + 44}{x - 1}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$

ステップ 6.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$

	$1$

ステップ 6.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(1)$ の結果を被除数 $(10)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$
		$1$
	$1$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$
		$1$
	$1$	$11$

ステップ 6.5

結果 $(11)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(11)$ の結果を被除数 $(- 15)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$
		$1$	$11$
	$1$	$11$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$
		$1$	$11$
	$1$	$11$	$- 4$

ステップ 6.7

結果 $(- 4)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(- 4)$ の結果を被除数 $(- 40)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$
		$1$	$11$	$- 4$
	$1$	$11$	$- 4$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$
		$1$	$11$	$- 4$
	$1$	$11$	$- 4$	$- 44$

ステップ 6.9

結果 $(- 44)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(- 44)$ の結果を被除数 $(44)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$
		$1$	$11$	$- 4$	$- 44$
	$1$	$11$	$- 4$	$- 44$

ステップ 6.10

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$1$	$10$	$- 15$	$- 40$	$44$
		$1$	$11$	$- 4$	$- 44$
	$1$	$11$	$- 4$	$- 44$	$0$

ステップ 6.11

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$1 x^{3} + 11 x^{2} + (- 4) x - 44$

ステップ 6.12

商の多項式を簡約します。

$x^{3} + 11 x^{2} - 4 x - 44$

ステップ 7

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 7.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x - 1) (x^{3} + 11 x^{2}) - 4 x - 44$

ステップ 7.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(x - 1) + x^{2} (x + 11) - 4 (x + 11)$

$(x - 1) x^{2} (x + 11) - 4 (x + 11)$

ステップ 8

最大公約数 $x + 11$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x - 1) (x + 11) (x^{2} - 4)$

ステップ 9

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$(x - 1) (x + 11) (x^{2} - 2^{2})$

ステップ 10

因数分解。

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ステップ 10.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$(x - 1) + (x + 11) ((x + 2) (x - 2))$

ステップ 10.2

不要な括弧を削除します。

$(x - 1) + (x + 11) (x + 2) (x - 2)$

$(x - 1) (x + 11) (x + 2) (x - 2)$

ステップ 11

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 11.1

項を再分類します。

$10 x^{3} - 40 x + x^{4} - 15 x^{2} + 44 = 0$

ステップ 11.2

$10 x$ を $10 x^{3} - 40 x$ で因数分解します。

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ステップ 11.2.1

$10 x$ を $10 x^{3}$ で因数分解します。

$10 x (x^{2}) - 40 x + x^{4} - 15 x^{2} + 44 = 0$

ステップ 11.2.2

$10 x$ を $- 40 x$ で因数分解します。

$10 x (x^{2}) + 10 x (- 4) + x^{4} - 15 x^{2} + 44 = 0$

ステップ 11.2.3

$10 x$ を $10 x (x^{2}) + 10 x (- 4)$ で因数分解します。

$10 x (x^{2} - 4) + x^{4} - 15 x^{2} + 44 = 0$

ステップ 11.3

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$10 x (x^{2} - 2^{2}) + x^{4} - 15 x^{2} + 44 = 0$

ステップ 11.4

因数分解。

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ステップ 11.4.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$10 x ((x + 2) (x - 2)) + x^{4} - 15 x^{2} + 44 = 0$

ステップ 11.4.2

不要な括弧を削除します。

$10 x (x + 2) (x - 2) + x^{4} - 15 x^{2} + 44 = 0$

ステップ 11.5

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$10 x (x + 2) (x - 2) + {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} + 44 = 0$

ステップ 11.6

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$10 x (x + 2) (x - 2) + u^{2} - 15 u + 44 = 0$

ステップ 11.7

たすき掛けを利用して $u^{2} - 15 u + 44$ を因数分解します。

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ステップ 11.7.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $44$ で、その和が $- 15$ です。

$- 11, - 4$

ステップ 11.7.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$10 x (x + 2) (x - 2) + (u - 11) (u - 4) = 0$

ステップ 11.8

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$10 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 11) (x^{2} - 4) = 0$

ステップ 11.9

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$10 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 11) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

ステップ 11.10

因数分解。

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ステップ 11.10.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 2$ です。

$10 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 11) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

ステップ 11.10.2

不要な括弧を削除します。

$10 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 11) (x + 2) (x - 2) = 0$

ステップ 11.11

$(x + 2) (x - 2)$ を $10 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 11) (x + 2) (x - 2)$ で因数分解します。

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ステップ 11.11.1

$(x + 2) (x - 2)$ を $10 x (x + 2) (x - 2)$ で因数分解します。

$(x + 2) (x - 2) (10 x) + (x^{2} - 11) (x + 2) (x - 2) = 0$

ステップ 11.11.2

$(x + 2) (x - 2)$ を $(x^{2} - 11) (x + 2) (x - 2)$ で因数分解します。

$(x + 2) (x - 2) (10 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 11) = 0$

ステップ 11.11.3

$(x + 2) (x - 2)$ を $(x + 2) (x - 2) (10 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 11)$ で因数分解します。

$(x + 2) (x - 2) (10 x + x^{2} - 11) = 0$

ステップ 11.12

$u = x$ とします。 $u$ を $x$ に代入します。

$(x + 2) (x - 2) (10 u + u^{2} - 11) = 0$

ステップ 11.13

たすき掛けを利用して $10 u + u^{2} - 11$ を因数分解します。

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ステップ 11.13.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 11$ で、その和が $10$ です。

$- 1, 11$

ステップ 11.13.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x + 2) (x - 2) ((u - 1) (u + 11)) = 0$

ステップ 11.14

因数分解。

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ステップ 11.14.1

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$(x + 2) (x - 2) ((x - 1) (x + 11)) = 0$

ステップ 11.14.2

不要な括弧を削除します。

$(x + 2) (x - 2) (x - 1) (x + 11) = 0$

ステップ 12

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 11 = 0$

ステップ 13

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 13.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 13.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 14

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 14.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 14.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 15

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 15.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 15.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 16

$x + 11$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 16.1

$x + 11$ が $0$ に等しいとします。

$x + 11 = 0$

ステップ 16.2

方程式の両辺から $11$ を引きます。

$x = - 11$

ステップ 17

最終解は $(x + 2) (x - 2) (x - 1) (x + 11) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 2, 2, 1, - 11$

ステップ 18

微分積分学準備 例

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