微分積分学準備例

$x^{4} + x^{3} - 42 x^{2}$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 0$

$q = \pm 1$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$0$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

${(0)}^{4} + {(0)}^{3} - 42 {(0)}^{2}$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = 0$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + {(0)}^{3} - 42 {(0)}^{2}$

ステップ 4.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + 0 - 42 {(0)}^{2}$

ステップ 4.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 + 0 - 42 \cdot 0$

ステップ 4.1.4

$- 42$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 0$

ステップ 4.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 4.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 0$

ステップ 4.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 5

$0$ は既知の根なので、多項式を $x + 0$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{4} + x^{3} - 42 x^{2}}{x + 0}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$

ステップ 6.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$

	$1$

ステップ 6.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(0)$ を掛け、 $(0)$ の結果を被除数 $(1)$ の隣の項の下に置きます。

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$
	$1$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$
	$1$	$1$

ステップ 6.5

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(0)$ を掛け、 $(0)$ の結果を被除数 $(- 42)$ の隣の項の下に置きます。

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$1$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$1$	$- 42$

ステップ 6.7

結果 $(- 42)$ の最新の項目に除数 $(0)$ を掛け、 $(0)$ の結果を被除数 $(0)$ の隣の項の下に置きます。

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$1$	$- 42$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$1$	$- 42$	$0$

ステップ 6.9

結果 $(0)$ の最新の項目に除数 $(0)$ を掛け、 $(0)$ の結果を被除数 $(0)$ の隣の項の下に置きます。

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$1$	$- 42$	$0$

ステップ 6.10

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$0$	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$1$	$- 42$	$0$	$0$

ステップ 6.11

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$1 x^{3} + 1 x^{2} + (- 42) x + 0$

ステップ 6.12

商の多項式を簡約します。

$x^{3} + x^{2} - 42 x$

ステップ 7

$x$ を $x^{3} + x^{2} - 42 x$ で因数分解します。

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ステップ 7.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$(x + 0) (x \cdot x^{2} + x^{2} - 42 x)$

ステップ 7.2

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$(x + 0) (x \cdot x^{2} + x \cdot x - 42 x)$

ステップ 7.3

$x$ を $- 42 x$ で因数分解します。

$(x + 0) (x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot - 42)$

ステップ 7.4

$x$ を $x \cdot x^{2} + x \cdot x$ で因数分解します。

$(x + 0) (x (x^{2} + x) + x \cdot - 42)$

ステップ 7.5

$x$ を $x (x^{2} + x) + x \cdot - 42$ で因数分解します。

$(x + 0) (x (x^{2} + x - 42))$

ステップ 8

因数分解。

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ステップ 8.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + x - 42$ を因数分解します。

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ステップ 8.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 42$ で、その和が $1$ です。

$- 6, 7$

ステップ 8.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x + 0) (x ((x - 6) (x + 7)))$

ステップ 8.2

不要な括弧を削除します。

$(x + 0) (x (x - 6) (x + 7))$

ステップ 9

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 9.1

$x^{2}$ を $x^{4} + x^{3} - 42 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 9.1.1

$x^{2}$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$x^{2} x^{2} + x^{3} - 42 x^{2} = 0$

ステップ 9.1.2

$x^{2}$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$x^{2} x^{2} + x^{2} x - 42 x^{2} = 0$

ステップ 9.1.3

$x^{2}$ を $- 42 x^{2}$ で因数分解します。

$x^{2} x^{2} + x^{2} x + x^{2} \cdot - 42 = 0$

ステップ 9.1.4

$x^{2}$ を $x^{2} x^{2} + x^{2} x$ で因数分解します。

$x^{2} (x^{2} + x) + x^{2} \cdot - 42 = 0$

ステップ 9.1.5

$x^{2}$ を $x^{2} (x^{2} + x) + x^{2} \cdot - 42$ で因数分解します。

$x^{2} (x^{2} + x - 42) = 0$

ステップ 9.2

因数分解。

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ステップ 9.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + x - 42$ を因数分解します。

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ステップ 9.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 42$ で、その和が $1$ です。

$- 6, 7$

ステップ 9.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$x^{2} ((x - 6) (x + 7)) = 0$

ステップ 9.2.2

不要な括弧を削除します。

$x^{2} (x - 6) (x + 7) = 0$

ステップ 10

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$x - 6 = 0$

$x + 7 = 0$

ステップ 11

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 11.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 11.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

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ステップ 11.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 11.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 11.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 11.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 11.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 12

$x - 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 12.1

$x - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x - 6 = 0$

ステップ 12.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x = 6$

ステップ 13

$x + 7$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 13.1

$x + 7$ が $0$ に等しいとします。

$x + 7 = 0$

ステップ 13.2

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$x = - 7$

ステップ 14

最終解は $x^{2} (x - 6) (x + 7) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 6, - 7$

ステップ 15

微分積分学準備 例

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