微分積分学準備例

$2 x^{2} - 2 x + 2 y^{2} - 6 y + 2 z^{2} - 4 z + 5$

ステップ 1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2

$a = 2$ 、 $b = - 6$ 、および $c = 2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $y$ の値を求めます。

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5))}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2 \cdot (2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.1.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8 \cdot (2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8 (2 x^{2}) - 8 (- 2 x) - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.4.1

$2$ に $- 8$ をかけます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} - 8 (- 2 x) - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.1.4.2

$- 2$ に $- 8$ をかけます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.1.4.3

$2$ に $- 8$ をかけます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.1.4.4

$- 4$ に $- 8$ をかけます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.1.4.5

$- 8$ に $5$ をかけます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 40}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.1.5

$36$ から $40$ を引きます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{- 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.1.6

$4$ を $- 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.6.1

$4$ を $- 16 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.1.6.2

$4$ を $16 x$ で因数分解します。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.1.6.3

$4$ を $- 16 z^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.1.6.4

$4$ を $32 z$ で因数分解します。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) - 4}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.1.6.5

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.1.6.6

$4$ を $4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.1.6.7

$4$ を $4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 4 z^{2})$ で因数分解します。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.1.6.8

$4$ を $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2}) + 4 (8 z)$ で因数分解します。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.1.6.9

$4$ を $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z) + 4 (- 1)$ で因数分解します。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.1.7

$4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)$ を $2^{2} (- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.7.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.1.9

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{4}$

ステップ 3.3

$\frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{4}$ を簡約します。

$y = \frac{3 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2}$

ステップ 4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2 \cdot (2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8 \cdot (2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8 (2 x^{2}) - 8 (- 2 x) - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$2$ に $- 8$ をかけます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} - 8 (- 2 x) - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.4.2

$- 2$ に $- 8$ をかけます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.4.3

$2$ に $- 8$ をかけます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.4.4

$- 4$ に $- 8$ をかけます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.4.5

$- 8$ に $5$ をかけます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 40}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.5

$36$ から $40$ を引きます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{- 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.6

$4$ を $- 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.6.1

$4$ を $- 16 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.6.2

$4$ を $16 x$ で因数分解します。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.6.3

$4$ を $- 16 z^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.6.4

$4$ を $32 z$ で因数分解します。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) - 4}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.6.5

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.6.6

$4$ を $4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.6.7

$4$ を $4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 4 z^{2})$ で因数分解します。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.6.8

$4$ を $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2}) + 4 (8 z)$ で因数分解します。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.6.9

$4$ を $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z) + 4 (- 1)$ で因数分解します。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.7

$4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)$ を $2^{2} (- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1)$ に書き換えます。

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ステップ 4.1.7.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.9

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{4}$

ステップ 4.3

$\frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{4}$ を簡約します。

$y = \frac{3 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2}$

ステップ 4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$y = \frac{3 + \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2}$

ステップ 5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 5.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$- 6$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2 \cdot (2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.1.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8 \cdot (2 x^{2} - 2 x + 2 z^{2} - 4 z + 5)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.1.3

分配則を当てはめます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8 (2 x^{2}) - 8 (- 2 x) - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.4.1

$2$ に $- 8$ をかけます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} - 8 (- 2 x) - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.1.4.2

$- 2$ に $- 8$ をかけます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 8 (2 z^{2}) - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.1.4.3

$2$ に $- 8$ をかけます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} - 8 (- 4 z) - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.1.4.4

$- 4$ に $- 8$ をかけます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.1.4.5

$- 8$ に $5$ をかけます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 40}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.1.5

$36$ から $40$ を引きます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{- 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.1.6

$4$ を $- 16 x^{2} + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.6.1

$4$ を $- 16 x^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 16 x - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.1.6.2

$4$ を $16 x$ で因数分解します。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) - 16 z^{2} + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.1.6.3

$4$ を $- 16 z^{2}$ で因数分解します。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 32 z - 4}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.1.6.4

$4$ を $32 z$ で因数分解します。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) - 4}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.1.6.5

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.1.6.6

$4$ を $4 (- 4 x^{2}) + 4 (4 x)$ で因数分解します。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.1.6.7

$4$ を $4 (- 4 x^{2} + 4 x) + 4 (- 4 z^{2})$ で因数分解します。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2}) + 4 (8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.1.6.8

$4$ を $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2}) + 4 (8 z)$ で因数分解します。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z) + 4 (- 1)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.1.6.9

$4$ を $4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z) + 4 (- 1)$ で因数分解します。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.1.7

$4 (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)$ を $2^{2} (- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.7.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.1.7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1)}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 2^{2} x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.1.9

$2$ を $2$ 乗します。

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{4}$

ステップ 5.3

$\frac{6 \pm 2 \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{4}$ を簡約します。

$y = \frac{3 \pm \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2}$

ステップ 5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$y = \frac{3 - \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2}$

ステップ 6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$y = \frac{3 + \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2}$

$y = \frac{3 - \sqrt{- 4 x^{2} + 4 x - 4 z^{2} + 8 z - 1}}{2}$

ステップ 7

微分積分学準備 例

微分積分学準備例