微分積分学準備例

$3 x^{4} - 11 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 8$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1, \pm 3$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm 8, \pm \frac{8}{3}$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

$3 {(4)}^{4} - 11 {(4)}^{3} - 3 {(4)}^{2} - 6 \cdot 4 + 8$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = 4$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$4$ を $4$ 乗します。

$3 \cdot 256 - 11 {(4)}^{3} - 3 {(4)}^{2} - 6 \cdot 4 + 8$

ステップ 4.1.2

$3$ に $256$ をかけます。

$768 - 11 {(4)}^{3} - 3 {(4)}^{2} - 6 \cdot 4 + 8$

ステップ 4.1.3

$4$ を $3$ 乗します。

$768 - 11 \cdot 64 - 3 {(4)}^{2} - 6 \cdot 4 + 8$

ステップ 4.1.4

$- 11$ に $64$ をかけます。

$768 - 704 - 3 {(4)}^{2} - 6 \cdot 4 + 8$

ステップ 4.1.5

$4$ を $2$ 乗します。

$768 - 704 - 3 \cdot 16 - 6 \cdot 4 + 8$

ステップ 4.1.6

$- 3$ に $16$ をかけます。

$768 - 704 - 48 - 6 \cdot 4 + 8$

ステップ 4.1.7

$- 6$ に $4$ をかけます。

$768 - 704 - 48 - 24 + 8$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.1

$768$ から $704$ を引きます。

$64 - 48 - 24 + 8$

ステップ 4.2.2

$64$ から $48$ を引きます。

$16 - 24 + 8$

ステップ 4.2.3

$16$ から $24$ を引きます。

$- 8 + 8$

ステップ 4.2.4

$- 8$ と $8$ をたし算します。

$0$

ステップ 5

$4$ は既知の根なので、多項式を $x - 4$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{3 x^{4} - 11 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 8}{x - 4}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$4$	$3$	$- 11$	$- 3$	$- 6$	$8$

ステップ 6.2

被除数 $(3)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$4$	$3$	$- 11$	$- 3$	$- 6$	$8$

	$3$

ステップ 6.3

結果 $(3)$ の最新の項目に除数 $(4)$ を掛け、 $(12)$ の結果を被除数 $(- 11)$ の隣の項の下に置きます。

$4$	$3$	$- 11$	$- 3$	$- 6$	$8$
		$12$
	$3$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$4$	$3$	$- 11$	$- 3$	$- 6$	$8$
		$12$
	$3$	$1$

ステップ 6.5

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(4)$ を掛け、 $(4)$ の結果を被除数 $(- 3)$ の隣の項の下に置きます。

$4$	$3$	$- 11$	$- 3$	$- 6$	$8$
		$12$	$4$
	$3$	$1$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$4$	$3$	$- 11$	$- 3$	$- 6$	$8$
		$12$	$4$
	$3$	$1$	$1$

ステップ 6.7

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(4)$ を掛け、 $(4)$ の結果を被除数 $(- 6)$ の隣の項の下に置きます。

$4$	$3$	$- 11$	$- 3$	$- 6$	$8$
		$12$	$4$	$4$
	$3$	$1$	$1$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$4$	$3$	$- 11$	$- 3$	$- 6$	$8$
		$12$	$4$	$4$
	$3$	$1$	$1$	$- 2$

ステップ 6.9

結果 $(- 2)$ の最新の項目に除数 $(4)$ を掛け、 $(- 8)$ の結果を被除数 $(8)$ の隣の項の下に置きます。

$4$	$3$	$- 11$	$- 3$	$- 6$	$8$
		$12$	$4$	$4$	$- 8$
	$3$	$1$	$1$	$- 2$

ステップ 6.10

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$4$	$3$	$- 11$	$- 3$	$- 6$	$8$
		$12$	$4$	$4$	$- 8$
	$3$	$1$	$1$	$- 2$	$0$

ステップ 6.11

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$3 x^{3} + 1 x^{2} + (1) x - 2$

ステップ 6.12

商の多項式を簡約します。

$3 x^{3} + x^{2} + x - 2$

ステップ 7

方程式を解き、残りの根を求めます。

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ステップ 7.1

有理根検定を用いて $3 x^{3} + x^{2} + x - 2$ を因数分解します。

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ステップ 7.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 3$

ステップ 7.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}$

ステップ 7.1.3

$0.\overline{6}$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $0.\overline{6}$ は多項式の根です。

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ステップ 7.1.3.1

$0.\overline{6}$ を多項式に代入します。

$3 \cdot {0.\overline{6}}^{3} + {0.\overline{6}}^{2} + 0.\overline{6} - 2$

ステップ 7.1.3.2

$0.\overline{6}$ を $3$ 乗します。

$3 \cdot 0.\overline{296} + {0.\overline{6}}^{2} + 0.\overline{6} - 2$

ステップ 7.1.3.3

$3$ に $0.\overline{296}$ をかけます。

$0.\overline{8} + {0.\overline{6}}^{2} + 0.\overline{6} - 2$

ステップ 7.1.3.4

$0.\overline{6}$ を $2$ 乗します。

$0.\overline{8} + 0.\overline{4} + 0.\overline{6} - 2$

ステップ 7.1.3.5

$0.\overline{8}$ と $0.\overline{4}$ をたし算します。

$1.\overline{3} + 0.\overline{6} - 2$

ステップ 7.1.3.6

$1.\overline{3}$ と $0.\overline{6}$ をたし算します。

$2 - 2$

ステップ 7.1.3.7

$2$ から $2$ を引きます。

$0$

ステップ 7.1.4

$0.\overline{6}$ は既知の根なので、多項式を $3 x - 2$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{3 x^{3} + x^{2} + x - 2}{3 x - 2}$

ステップ 7.1.5

$3 x^{3} + x^{2} + x - 2$ を $3 x - 2$ で割ります。

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ステップ 7.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$3 x$

$2$

$3 x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$2$

ステップ 7.1.5.2

被除数 $3 x^{3}$ の最高次項を除数 $3 x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$

ステップ 7.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			+	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

ステップ 7.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $3 x^{3} - 2 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

ステップ 7.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

ステップ 7.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$

ステップ 7.1.5.7

被除数 $3 x^{2}$ の最高次項を除数 $3 x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$

ステップ 7.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x^{2}$	-	$2 x$

ステップ 7.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $3 x^{2} - 2 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	+	$2 x$

ステップ 7.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$

ステップ 7.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	-	$2$

ステップ 7.1.5.12

被除数 $3 x$ の最高次項を除数 $3 x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	-	$2$

ステップ 7.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	-	$2$
							+	$3 x$	-	$2$

ステップ 7.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $3 x - 2$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	-	$2$
							-	$3 x$	+	$2$

ステップ 7.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$3 x$	-	$2$		$3 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							+	$3 x$	-	$2$
							-	$3 x$	+	$2$
										$0$

ステップ 7.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} + x + 1$

ステップ 7.1.6

$3 x^{3} + x^{2} + x - 2$ を因数の集合として書き換えます。

$(3 x - 2) (x^{2} + x + 1) = 0$

ステップ 7.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 x - 2 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

ステップ 7.3

$3 x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.3.1

$3 x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$3 x - 2 = 0$

ステップ 7.3.2

$x$ について $3 x - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 7.3.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$3 x = 2$

ステップ 7.3.2.2

$3 x = 2$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.3.2.2.1

$3 x = 2$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

ステップ 7.3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.3.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.3.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

ステップ 7.3.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{2}{3}$

ステップ 7.4

$x^{2} + x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.4.1

$x^{2} + x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + x + 1 = 0$

ステップ 7.4.2

$x$ について $x^{2} + x + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 7.4.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 7.4.2.2

$a = 1$ 、 $b = 1$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3

簡約します。

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ステップ 7.4.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.4.2.3.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 7.4.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.3

$1$ から $4$ を引きます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 7.4.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 7.4.2.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.4.2.4.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 7.4.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.4.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.4.1.3

$1$ から $4$ を引きます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.4.1.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.4.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 7.4.2.4.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 7.4.2.4.4

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 7.4.2.4.5

$- 1$ を $i \sqrt{3}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 7.4.2.4.6

$- 1$ を $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 7.4.2.4.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 7.4.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 7.4.2.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.4.2.5.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 7.4.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.5.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.5.1.3

$1$ から $4$ を引きます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.5.1.4

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.5.1.5

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 7.4.2.5.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 7.4.2.5.4

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 7.4.2.5.5

$- 1$ を $- i \sqrt{3}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 7.4.2.5.6

$- 1$ を $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 7.4.2.5.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 7.4.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 7.5

最終解は $(3 x - 2) (x^{2} + x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{2}{3}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 8

多項式は線形因数の集合として書くことができません。

$(x - 4) (x - \frac{2}{3}) (x + \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}) (x + \frac{1 + i \sqrt{3}}{2})$

ステップ 9

多項式 $3 x^{4} - 11 x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 8$ の根（0）です。

$x = 4, \frac{2}{3}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 10

微分積分学準備 例

微分積分学準備例