微分積分学準備例

$2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} + 64 x - 32$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32$

$q = \pm 1, \pm 2$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

$2 {(\frac{1}{2})}^{4} - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = \frac{1}{2}$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$2 \frac{1^{4}}{2^{4}} - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

ステップ 4.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$2 \frac{1}{2^{4}} - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

ステップ 4.1.3

$2$ を $4$ 乗します。

$2 (\frac{1}{16}) - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

ステップ 4.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.4.1

$2$ を $16$ で因数分解します。

$2 \frac{1}{2 (8)} - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

ステップ 4.1.4.2

共通因数を約分します。

$2 \frac{1}{2 \cdot 8} - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

ステップ 4.1.4.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{8} - 13 {(\frac{1}{2})}^{3} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

ステップ 4.1.5

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$\frac{1}{8} - 13 \frac{1^{3}}{2^{3}} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

ステップ 4.1.6

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{8} - 13 \frac{1}{2^{3}} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

ステップ 4.1.7

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{1}{8} - 13 (\frac{1}{8}) + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

ステップ 4.1.8

$- 13$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$\frac{1}{8} + \frac{- 13}{8} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

ステップ 4.1.9

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

ステップ 4.1.10

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 6 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

ステップ 4.1.11

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 6 \frac{1}{2^{2}} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

ステップ 4.1.12

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 6 (\frac{1}{4}) + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

ステップ 4.1.13

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.13.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 2 (3) \frac{1}{4} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

ステップ 4.1.13.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

ステップ 4.1.13.3

共通因数を約分します。

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

ステップ 4.1.13.4

式を書き換えます。

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + 3 (\frac{1}{2}) + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

ステップ 4.1.14

$3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + \frac{3}{2} + 64 (\frac{1}{2}) - 32$

ステップ 4.1.15

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.15.1

$2$ を $64$ で因数分解します。

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + \frac{3}{2} + 2 (32) \frac{1}{2} - 32$

ステップ 4.1.15.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + \frac{3}{2} + 2 \cdot 32 \frac{1}{2} - 32$

ステップ 4.1.15.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{8} - \frac{13}{8} + \frac{3}{2} + 32 - 32$

ステップ 4.2

分数をまとめます。

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ステップ 4.2.1

公分母の分子をまとめます。

$32 - 32 + \frac{1 - 13}{8} + \frac{3}{2}$

ステップ 4.2.2

$1$ から $13$ を引きます。

$32 - 32 + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2}$

ステップ 4.3

公分母を求めます。

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ステップ 4.3.1

$32$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{32}{1} - 32 + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2}$

ステップ 4.3.2

$\frac{32}{1}$ に $\frac{8}{8}$ をかけます。

$\frac{32}{1} \cdot \frac{8}{8} - 32 + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2}$

ステップ 4.3.3

$\frac{32}{1}$ に $\frac{8}{8}$ をかけます。

$\frac{32 \cdot 8}{8} - 32 + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2}$

ステップ 4.3.4

$- 32$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{32 \cdot 8}{8} + \frac{- 32}{1} + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2}$

ステップ 4.3.5

$\frac{- 32}{1}$ に $\frac{8}{8}$ をかけます。

$\frac{32 \cdot 8}{8} + \frac{- 32}{1} \cdot \frac{8}{8} + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2}$

ステップ 4.3.6

$\frac{- 32}{1}$ に $\frac{8}{8}$ をかけます。

$\frac{32 \cdot 8}{8} + \frac{- 32 \cdot 8}{8} + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2}$

ステップ 4.3.7

$\frac{3}{2}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{32 \cdot 8}{8} + \frac{- 32 \cdot 8}{8} + \frac{- 12}{8} + \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{4}$

ステップ 4.3.8

$\frac{3}{2}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{32 \cdot 8}{8} + \frac{- 32 \cdot 8}{8} + \frac{- 12}{8} + \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

ステップ 4.3.9

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{32 \cdot 8}{8} + \frac{- 32 \cdot 8}{8} + \frac{- 12}{8} + \frac{3 \cdot 4}{8}$

ステップ 4.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{32 \cdot 8 - 32 \cdot 8 - 12 + 3 \cdot 4}{8}$

ステップ 4.5

各項を簡約します。

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ステップ 4.5.1

$32$ に $8$ をかけます。

$\frac{256 - 32 \cdot 8 - 12 + 3 \cdot 4}{8}$

ステップ 4.5.2

$- 32$ に $8$ をかけます。

$\frac{256 - 256 - 12 + 3 \cdot 4}{8}$

ステップ 4.5.3

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{256 - 256 - 12 + 12}{8}$

ステップ 4.6

式を簡約します。

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ステップ 4.6.1

$256$ から $256$ を引きます。

$\frac{0 - 12 + 12}{8}$

ステップ 4.6.2

$0$ から $12$ を引きます。

$\frac{- 12 + 12}{8}$

ステップ 4.6.3

$- 12$ と $12$ をたし算します。

$\frac{0}{8}$

ステップ 4.6.4

$0$ を $8$ で割ります。

$0$

ステップ 5

$\frac{1}{2}$ は既知の根なので、多項式を $x - \frac{1}{2}$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} + 64 x - 32}{x - \frac{1}{2}}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$

ステップ 6.2

被除数 $(2)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$

	$2$

ステップ 6.3

結果 $(2)$ の最新の項目に除数 $(\frac{1}{2})$ を掛け、 $(1)$ の結果を被除数 $(- 13)$ の隣の項の下に置きます。

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$
	$2$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$
	$2$	$- 12$

ステップ 6.5

結果 $(- 12)$ の最新の項目に除数 $(\frac{1}{2})$ を掛け、 $(- 6)$ の結果を被除数 $(6)$ の隣の項の下に置きます。

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$	$- 6$
	$2$	$- 12$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$	$- 6$
	$2$	$- 12$	$0$

ステップ 6.7

結果 $(0)$ の最新の項目に除数 $(\frac{1}{2})$ を掛け、 $(0)$ の結果を被除数 $(64)$ の隣の項の下に置きます。

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$	$- 6$	$0$
	$2$	$- 12$	$0$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$	$- 6$	$0$
	$2$	$- 12$	$0$	$64$

ステップ 6.9

結果 $(64)$ の最新の項目に除数 $(\frac{1}{2})$ を掛け、 $(32)$ の結果を被除数 $(- 32)$ の隣の項の下に置きます。

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$	$- 6$	$0$	$32$
	$2$	$- 12$	$0$	$64$

ステップ 6.10

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$\frac{1}{2}$	$2$	$- 13$	$6$	$64$	$- 32$
		$1$	$- 6$	$0$	$32$
	$2$	$- 12$	$0$	$64$	$0$

ステップ 6.11

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$2 x^{3} + - 12 x^{2} + (0) x + 64$

ステップ 6.12

商の多項式を簡約します。

$2 x^{3} - 12 x^{2} + 64$

ステップ 7

$2$ を $2 x^{3} - 12 x^{2} + 64$ で因数分解します。

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ステップ 7.1

$2$ を $2 x^{3}$ で因数分解します。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) - 12 x^{2} + 64)$

ステップ 7.2

$2$ を $- 12 x^{2}$ で因数分解します。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 (- 6 x^{2}) + 64)$

ステップ 7.3

$2$ を $64$ で因数分解します。

$(x - \frac{1}{2}) (2 x^{3} + 2 (- 6 x^{2}) + 2 \cdot 32)$

ステップ 7.4

$2$ を $2 x^{3} + 2 (- 6 x^{2})$ で因数分解します。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 6 x^{2}) + 2 \cdot 32)$

ステップ 7.5

$2$ を $2 (x^{3} - 6 x^{2}) + 2 \cdot 32$ で因数分解します。

$(x - \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 6 x^{2} + 32))$

ステップ 8

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 8.1

項を再分類します。

$64 x - 32 + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

ステップ 8.2

$32$ を $64 x - 32$ で因数分解します。

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ステップ 8.2.1

$32$ を $64 x$ で因数分解します。

$32 (2 x) - 32 + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

ステップ 8.2.2

$32$ を $- 32$ で因数分解します。

$32 (2 x) + 32 (- 1) + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

ステップ 8.2.3

$32$ を $32 (2 x) + 32 (- 1)$ で因数分解します。

$32 (2 x - 1) + 2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

ステップ 8.3

$x^{2}$ を $2 x^{4} - 13 x^{3} + 6 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 8.3.1

$x^{2}$ を $2 x^{4}$ で因数分解します。

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2}) - 13 x^{3} + 6 x^{2} = 0$

ステップ 8.3.2

$x^{2}$ を $- 13 x^{3}$ で因数分解します。

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 13 x) + 6 x^{2} = 0$

ステップ 8.3.3

$x^{2}$ を $6 x^{2}$ で因数分解します。

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 13 x) + x^{2} \cdot 6 = 0$

ステップ 8.3.4

$x^{2}$ を $x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} (- 13 x)$ で因数分解します。

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 13 x) + x^{2} \cdot 6 = 0$

ステップ 8.3.5

$x^{2}$ を $x^{2} (2 x^{2} - 13 x) + x^{2} \cdot 6$ で因数分解します。

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 13 x + 6) = 0$

ステップ 8.4

因数分解。

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ステップ 8.4.1

群による因数分解。

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ステップ 8.4.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot 6 = 12$ で和が $b = - 13$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 8.4.1.1.1

$- 13$ を $- 13 x$ で因数分解します。

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 13 x + 6) = 0$

ステップ 8.4.1.1.2

$- 13$ を $- 1$ プラス $- 12$ に書き換える

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} + (- 1 - 12) x + 6) = 0$

ステップ 8.4.1.1.3

分配則を当てはめます。

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x^{2} - 1 x - 12 x + 6) = 0$

ステップ 8.4.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 8.4.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$32 (2 x - 1) + x^{2} ((2 x^{2} - 1 x) - 12 x + 6) = 0$

ステップ 8.4.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$32 (2 x - 1) + x^{2} (x (2 x - 1) - 6 (2 x - 1)) = 0$

ステップ 8.4.1.3

最大公約数 $2 x - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$32 (2 x - 1) + x^{2} ((2 x - 1) (x - 6)) = 0$

ステップ 8.4.2

不要な括弧を削除します。

$32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x - 1) (x - 6) = 0$

ステップ 8.5

$2 x - 1$ を $32 (2 x - 1) + x^{2} (2 x - 1) (x - 6)$ で因数分解します。

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ステップ 8.5.1

$2 x - 1$ を $32 (2 x - 1)$ で因数分解します。

$(2 x - 1) \cdot 32 + x^{2} (2 x - 1) (x - 6) = 0$

ステップ 8.5.2

$2 x - 1$ を $x^{2} (2 x - 1) (x - 6)$ で因数分解します。

$(2 x - 1) \cdot 32 + (2 x - 1) (x^{2} (x - 6)) = 0$

ステップ 8.5.3

$2 x - 1$ を $(2 x - 1) \cdot 32 + (2 x - 1) (x^{2} (x - 6))$ で因数分解します。

$(2 x - 1) (32 + x^{2} (x - 6)) = 0$

ステップ 8.6

分配則を当てはめます。

$(2 x - 1) (32 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 6) = 0$

ステップ 8.7

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 8.7.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 8.7.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$(2 x - 1) (32 + x^{2} x + x^{2} \cdot - 6) = 0$

ステップ 8.7.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$(2 x - 1) (32 + x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 6) = 0$

ステップ 8.7.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$(2 x - 1) (32 + x^{3} + x^{2} \cdot - 6) = 0$

ステップ 8.8

$- 6$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$(2 x - 1) (32 + x^{3} - 6 x^{2}) = 0$

ステップ 8.9

項を並べ替えます。

$(2 x - 1) (x^{3} - 6 x^{2} + 32) = 0$

ステップ 8.10

因数分解。

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ステップ 8.10.1

因数分解した形で $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ を書き換えます。

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ステップ 8.10.1.1

有理根検定を用いて $x^{3} - 6 x^{2} + 32$ を因数分解します。

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ステップ 8.10.1.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

ステップ 8.10.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

ステップ 8.10.1.1.3

$- 2$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 2$ は多項式の根です。

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ステップ 8.10.1.1.3.1

$- 2$ を多項式に代入します。

${(- 2)}^{3} - 6 {(- 2)}^{2} + 32$

ステップ 8.10.1.1.3.2

$- 2$ を $3$ 乗します。

$- 8 - 6 {(- 2)}^{2} + 32$

ステップ 8.10.1.1.3.3

$- 2$ を $2$ 乗します。

$- 8 - 6 \cdot 4 + 32$

ステップ 8.10.1.1.3.4

$- 6$ に $4$ をかけます。

$- 8 - 24 + 32$

ステップ 8.10.1.1.3.5

$- 8$ から $24$ を引きます。

$- 32 + 32$

ステップ 8.10.1.1.3.6

$- 32$ と $32$ をたし算します。

$0$

ステップ 8.10.1.1.4

$- 2$ は既知の根なので、多項式を $x + 2$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 32}{x + 2}$

ステップ 8.10.1.1.5

$x^{3} - 6 x^{2} + 32$ を $x + 2$ で割ります。

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ステップ 8.10.1.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$2$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$0 x$

$32$

ステップ 8.10.1.1.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$

ステップ 8.10.1.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

ステップ 8.10.1.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} + 2 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

ステップ 8.10.1.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

ステップ 8.10.1.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$

ステップ 8.10.1.1.5.7

被除数 $- 8 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$

ステップ 8.10.1.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$8 x^{2}$	-	$16 x$

ステップ 8.10.1.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 8 x^{2} - 16 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$

ステップ 8.10.1.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$

ステップ 8.10.1.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$

ステップ 8.10.1.1.5.12

被除数 $16 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$

ステップ 8.10.1.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							+	$16 x$	+	$32$

ステップ 8.10.1.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $16 x + 32$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							-	$16 x$	-	$32$

ステップ 8.10.1.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$0 x$	+	$32$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$8 x^{2}$	+	$16 x$
							+	$16 x$	+	$32$
							-	$16 x$	-	$32$
										$0$

ステップ 8.10.1.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - 8 x + 16$

ステップ 8.10.1.1.6

$x^{3} - 6 x^{2} + 32$ を因数の集合として書き換えます。

$(2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 8 x + 16)) = 0$

ステップ 8.10.1.2

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.10.1.2.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$(2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 8 x + 4^{2})) = 0$

ステップ 8.10.1.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

ステップ 8.10.1.2.3

多項式を書き換えます。

$(2 x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

ステップ 8.10.1.2.4

$a = x$ と $b = 4$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$(2 x - 1) ((x + 2) {(x - 4)}^{2}) = 0$

ステップ 8.10.2

不要な括弧を削除します。

$(2 x - 1) (x + 2) {(x - 4)}^{2} = 0$

ステップ 9

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

ステップ 10

$2 x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$2 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 x - 1 = 0$

ステップ 10.2

$x$ について $2 x - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 x = 1$

ステップ 10.2.2

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 10.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 10.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 11

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 11.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 12

${(x - 4)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

${(x - 4)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 4)}^{2} = 0$

ステップ 12.2

$x$ について ${(x - 4)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.2.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 12.2.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 13

最終解は $(2 x - 1) (x + 2) {(x - 4)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{1}{2}, - 2, 4$

ステップ 14

微分積分学準備 例

微分積分学準備例