微分積分学準備例

$x^{4} - 1$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

${(1)}^{4} - 1$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = 1$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

1のすべての数の累乗は1です。

$1 - 1$

ステップ 4.2

$1$ から $1$ を引きます。

$0$

ステップ 5

$1$ は既知の根なので、多項式を $x - 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{4} - 1}{x - 1}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$

ステップ 6.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$

	$1$

ステップ 6.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(1)$ の結果を被除数 $(0)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$
		$1$
	$1$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$
		$1$
	$1$	$1$

ステップ 6.5

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(1)$ の結果を被除数 $(0)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$
		$1$	$1$
	$1$	$1$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$
		$1$	$1$
	$1$	$1$	$1$

ステップ 6.7

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(1)$ の結果を被除数 $(0)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$
		$1$	$1$	$1$
	$1$	$1$	$1$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$
		$1$	$1$	$1$
	$1$	$1$	$1$	$1$

ステップ 6.9

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(1)$ を掛け、 $(1)$ の結果を被除数 $(- 1)$ の隣の項の下に置きます。

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$
		$1$	$1$	$1$	$1$
	$1$	$1$	$1$	$1$

ステップ 6.10

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$- 1$
		$1$	$1$	$1$	$1$
	$1$	$1$	$1$	$1$	$0$

ステップ 6.11

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$1 x^{3} + 1 x^{2} + (1) x + 1$

ステップ 6.12

商の多項式を簡約します。

$x^{3} + x^{2} + x + 1$

ステップ 7

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 7.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x - 1) (x^{3} + x^{2}) + x + 1$

ステップ 7.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(x - 1) + x^{2} (x + 1) + 1 (x + 1)$

$(x - 1) x^{2} (x + 1) + 1 (x + 1)$

ステップ 8

最大公約数 $x + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x - 1) (x + 1) (x^{2} + 1)$

ステップ 9

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x^{4} = 1$

ステップ 10

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{1}$

ステップ 11

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

ステップ 12

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 12.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 12.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 12.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 13

微分積分学準備 例

微分積分学準備例