微分積分学準備例

$x^{5} - 4 x^{4} - 3 x^{3} + 22 x^{2} - 4 x - 24$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$

$q = \pm 1$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

${(- 1)}^{5} - 4 {(- 1)}^{4} - 3 {(- 1)}^{3} + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = - 1$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$- 1$ を $5$ 乗します。

$- 1 - 4 {(- 1)}^{4} - 3 {(- 1)}^{3} + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

ステップ 4.1.2

$- 1$ を $4$ 乗します。

$- 1 - 4 \cdot 1 - 3 {(- 1)}^{3} + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

ステップ 4.1.3

$- 4$ に $1$ をかけます。

$- 1 - 4 - 3 {(- 1)}^{3} + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

ステップ 4.1.4

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- 1 - 4 - 3 \cdot - 1 + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

ステップ 4.1.5

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$- 1 - 4 + 3 + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

ステップ 4.1.6

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- 1 - 4 + 3 + 22 \cdot 1 - 4 \cdot - 1 - 24$

ステップ 4.1.7

$22$ に $1$ をかけます。

$- 1 - 4 + 3 + 22 - 4 \cdot - 1 - 24$

ステップ 4.1.8

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$- 1 - 4 + 3 + 22 + 4 - 24$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- 1$ から $4$ を引きます。

$- 5 + 3 + 22 + 4 - 24$

ステップ 4.2.2

$- 5$ と $3$ をたし算します。

$- 2 + 22 + 4 - 24$

ステップ 4.2.3

$- 2$ と $22$ をたし算します。

$20 + 4 - 24$

ステップ 4.2.4

$20$ と $4$ をたし算します。

$24 - 24$

ステップ 4.2.5

$24$ から $24$ を引きます。

$0$

ステップ 5

$- 1$ は既知の根なので、多項式を $x + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{5} - 4 x^{4} - 3 x^{3} + 22 x^{2} - 4 x - 24}{x + 1}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$

ステップ 6.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$

	$1$

ステップ 6.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(- 1)$ を掛け、 $(- 1)$ の結果を被除数 $(- 4)$ の隣の項の下に置きます。

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$
	$1$

ステップ 6.4