微分積分学準備例

$x^{3} - 7 x^{2} + 9 x - 63$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 9, \pm 21, \pm 63$

$q = \pm 1$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 9, \pm 21, \pm 63$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

${(7)}^{3} - 7 {(7)}^{2} + 9 (7) - 63$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = 7$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$7$ を $3$ 乗します。

$343 - 7 {(7)}^{2} + 9 (7) - 63$

ステップ 4.1.2

$7$ を $2$ 乗します。

$343 - 7 \cdot 49 + 9 (7) - 63$

ステップ 4.1.3

$- 7$ に $49$ をかけます。

$343 - 343 + 9 (7) - 63$

ステップ 4.1.4

$9$ に $7$ をかけます。

$343 - 343 + 63 - 63$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.1

$343$ から $343$ を引きます。

$0 + 63 - 63$

ステップ 4.2.2

$0$ と $63$ をたし算します。

$63 - 63$

ステップ 4.2.3

$63$ から $63$ を引きます。

$0$

ステップ 5

$7$ は既知の根なので、多項式を $x - 7$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - 7 x^{2} + 9 x - 63}{x - 7}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$7$	$1$	$- 7$	$9$	$- 63$

ステップ 6.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$7$	$1$	$- 7$	$9$	$- 63$

	$1$

ステップ 6.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(7)$ を掛け、 $(7)$ の結果を被除数 $(- 7)$ の隣の項の下に置きます。

$7$	$1$	$- 7$	$9$	$- 63$
		$7$
	$1$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$7$	$1$	$- 7$	$9$	$- 63$
		$7$
	$1$	$0$

ステップ 6.5

結果 $(0)$ の最新の項目に除数 $(7)$ を掛け、 $(0)$ の結果を被除数 $(9)$ の隣の項の下に置きます。

$7$	$1$	$- 7$	$9$	$- 63$
		$7$	$0$
	$1$	$0$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$7$	$1$	$- 7$	$9$	$- 63$
		$7$	$0$
	$1$	$0$	$9$

ステップ 6.7

結果 $(9)$ の最新の項目に除数 $(7)$ を掛け、 $(63)$ の結果を被除数 $(- 63)$ の隣の項の下に置きます。

$7$	$1$	$- 7$	$9$	$- 63$
		$7$	$0$	$63$
	$1$	$0$	$9$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$7$	$1$	$- 7$	$9$	$- 63$
		$7$	$0$	$63$
	$1$	$0$	$9$	$0$

ステップ 6.9

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$1 x^{2} + 0 x + 9$

ステップ 6.10

商の多項式を簡約します。

$x^{2} + 9$

ステップ 7

方程式を解き、残りの根を求めます。

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ステップ 7.1

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$x^{2} = - 9$

ステップ 7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

ステップ 7.3

$\pm \sqrt{- 9}$ を簡約します。

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ステップ 7.3.1

$- 9$ を $- 1 (9)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

ステップ 7.3.2

$\sqrt{- 1 (9)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

ステップ 7.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

ステップ 7.3.4

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

ステップ 7.3.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \cdot 3$

ステップ 7.3.6

$3$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \pm 3 i$

ステップ 7.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 7.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 3 i$

ステップ 7.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 3 i$

ステップ 7.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 3 i, - 3 i$

ステップ 8

多項式は線形因数の集合として書くことができません。

$(x - 7) (x - 3 i) (x + 3 i)$

ステップ 9

多項式 $x^{3} - 7 x^{2} + 9 x - 63$ の根（0）です。

$x = 7, 3 i, - 3 i$

ステップ 10

微分積分学準備 例

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