微分積分学準備例

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

${(2)}^{3} - 6 {(2)}^{2} + 12 (2) - 8$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = 2$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$8 - 6 {(2)}^{2} + 12 (2) - 8$

ステップ 4.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$8 - 6 \cdot 4 + 12 (2) - 8$

ステップ 4.1.3

$- 6$ に $4$ をかけます。

$8 - 24 + 12 (2) - 8$

ステップ 4.1.4

$12$ に $2$ をかけます。

$8 - 24 + 24 - 8$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.1

$8$ から $24$ を引きます。

$- 16 + 24 - 8$

ステップ 4.2.2

$- 16$ と $24$ をたし算します。

$8 - 8$

ステップ 4.2.3

$8$ から $8$ を引きます。

$0$

ステップ 5

$2$ は既知の根なので、多項式を $x - 2$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}{x - 2}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$

ステップ 6.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$

	$1$

ステップ 6.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(2)$ を掛け、 $(2)$ の結果を被除数 $(- 6)$ の隣の項の下に置きます。

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$
		$2$
	$1$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$
		$2$
	$1$	$- 4$

ステップ 6.5

結果 $(- 4)$ の最新の項目に除数 $(2)$ を掛け、 $(- 8)$ の結果を被除数 $(12)$ の隣の項の下に置きます。

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$
		$2$	$- 8$
	$1$	$- 4$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$
		$2$	$- 8$
	$1$	$- 4$	$4$

ステップ 6.7

結果 $(4)$ の最新の項目に除数 $(2)$ を掛け、 $(8)$ の結果を被除数 $(- 8)$ の隣の項の下に置きます。

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$
		$2$	$- 8$	$8$
	$1$	$- 4$	$4$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$2$	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$
		$2$	$- 8$	$8$
	$1$	$- 4$	$4$	$0$

ステップ 6.9

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$1 x^{2} + - 4 x + 4$

ステップ 6.10

商の多項式を簡約します。

$x^{2} - 4 x + 4$

ステップ 7

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 7.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$(x - 2) + x^{2} - 4 x + 2^{2}$

ステップ 7.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

ステップ 7.3

多項式を書き換えます。

$(x - 2) + x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}$

ステップ 7.4

$a = x$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$(x - 2) + {(x - 2)}^{2}$

$(x - 2) {(x - 2)}^{2}$

ステップ 8

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 8.1

有理根検定を用いて $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ を因数分解します。

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ステップ 8.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

ステップ 8.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

ステップ 8.1.3

$2$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $2$ は多項式の根です。

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ステップ 8.1.3.1

$2$ を多項式に代入します。

$2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

ステップ 8.1.3.2

$2$ を $3$ 乗します。

$8 - 6 \cdot 2^{2} + 12 \cdot 2 - 8$

ステップ 8.1.3.3

$2$ を $2$ 乗します。

$8 - 6 \cdot 4 + 12 \cdot 2 - 8$

ステップ 8.1.3.4

$- 6$ に $4$ をかけます。

$8 - 24 + 12 \cdot 2 - 8$

ステップ 8.1.3.5

$8$ から $24$ を引きます。

$- 16 + 12 \cdot 2 - 8$

ステップ 8.1.3.6

$12$ に $2$ をかけます。

$- 16 + 24 - 8$

ステップ 8.1.3.7

$- 16$ と $24$ をたし算します。

$8 - 8$

ステップ 8.1.3.8

$8$ から $8$ を引きます。

$0$

ステップ 8.1.4

$2$ は既知の根なので、多項式を $x - 2$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8}{x - 2}$

ステップ 8.1.5

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ を $x - 2$ で割ります。

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ステップ 8.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$2$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$12 x$

$8$

ステップ 8.1.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$

ステップ 8.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

ステップ 8.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} - 2 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

ステップ 8.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

ステップ 8.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

ステップ 8.1.5.7

被除数 $- 4 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

ステップ 8.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$8 x$

ステップ 8.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 4 x^{2} + 8 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$

ステップ 8.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$

ステップ 8.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$

ステップ 8.1.5.12

被除数 $4 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$

ステップ 8.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							+	$4 x$	-	$8$

ステップ 8.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $4 x - 8$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							-	$4 x$	+	$8$

ステップ 8.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$4$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$6 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$4 x$	-	$8$
							-	$4 x$	+	$8$
										$0$

ステップ 8.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - 4 x + 4$

ステップ 8.1.6

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ を因数の集合として書き換えます。

$(x - 2) (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

ステップ 8.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 8.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$(x - 2) (x^{2} - 4 x + 2^{2}) = 0$

ステップ 8.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

ステップ 8.2.3

多項式を書き換えます。

$(x - 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

ステップ 8.2.4

$a = x$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$(x - 2) {(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 8.3

同類因数をまとめます

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ステップ 8.3.1

$x - 2$ を $1$ 乗します。

$(x - 2) {(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 8.3.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${(x - 2)}^{1 + 2} = 0$

ステップ 8.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

${(x - 2)}^{3} = 0$

ステップ 9

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 10

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 11

微分積分学準備 例

微分積分学準備例