微分積分学準備例

$x^{3} - 125$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 25, \pm 125$

$q = \pm 1$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 5, \pm 25, \pm 125$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

${(5)}^{3} - 125$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = 5$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

$5$ を $3$ 乗します。

$125 - 125$

ステップ 4.2

$125$ から $125$ を引きます。

$0$

ステップ 5

$5$ は既知の根なので、多項式を $x - 5$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} - 125}{x - 5}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$5$	$1$	$0$	$0$	$- 125$

ステップ 6.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$5$	$1$	$0$	$0$	$- 125$

	$1$

ステップ 6.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(5)$ を掛け、 $(5)$ の結果を被除数 $(0)$ の隣の項の下に置きます。

$5$	$1$	$0$	$0$	$- 125$
		$5$
	$1$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$5$	$1$	$0$	$0$	$- 125$
		$5$
	$1$	$5$

ステップ 6.5

結果 $(5)$ の最新の項目に除数 $(5)$ を掛け、 $(25)$ の結果を被除数 $(0)$ の隣の項の下に置きます。

$5$	$1$	$0$	$0$	$- 125$
		$5$	$25$
	$1$	$5$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$5$	$1$	$0$	$0$	$- 125$
		$5$	$25$
	$1$	$5$	$25$

ステップ 6.7

結果 $(25)$ の最新の項目に除数 $(5)$ を掛け、 $(125)$ の結果を被除数 $(- 125)$ の隣の項の下に置きます。

$5$	$1$	$0$	$0$	$- 125$
		$5$	$25$	$125$
	$1$	$5$	$25$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$5$	$1$	$0$	$0$	$- 125$
		$5$	$25$	$125$
	$1$	$5$	$25$	$0$

ステップ 6.9

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$1 x^{2} + 5 x + 25$

ステップ 6.10

商の多項式を簡約します。

$x^{2} + 5 x + 25$

ステップ 7

方程式を解き、残りの根を求めます。

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ステップ 7.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 7.2

$a = 1$ 、 $b = 5$ 、および $c = 25$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 25)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3

簡約します。

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ステップ 7.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.3.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 25$ を掛けます。

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ステップ 7.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.2.2

$- 4$ に $25$ をかけます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.3

$25$ から $100$ を引きます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.4

$- 75$ を $- 1 (75)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.5

$\sqrt{- 1 (75)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.7

$75$ を $5^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 7.3.1.7.1

$25$ を $75$ で因数分解します。

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.7.2

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.1.9

$5$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 7.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 7.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.4.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 25$ を掛けます。

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ステップ 7.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.1.2.2

$- 4$ に $25$ をかけます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.1.3

$25$ から $100$ を引きます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.1.4

$- 75$ を $- 1 (75)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.1.5

$\sqrt{- 1 (75)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.1.7

$75$ を $5^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 7.4.1.7.1

$25$ を $75$ で因数分解します。

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.1.7.2

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.1.9

$5$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 7.4.3

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{- 5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 7.4.4

$- 5$ を $- 1 (5)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 7.4.5

$- 1$ を $5 i \sqrt{3}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (- 5 i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 7.4.6

$- 1$ を $- 1 (5) - (- 5 i \sqrt{3})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (5 - 5 i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 7.4.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 7.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 7.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.5.1.1

$5$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 25$ を掛けます。

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ステップ 7.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.5.1.2.2

$- 4$ に $25$ をかけます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.5.1.3

$25$ から $100$ を引きます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.5.1.4

$- 75$ を $- 1 (75)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.5.1.5

$\sqrt{- 1 (75)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.5.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.5.1.7

$75$ を $5^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1.7.1

$25$ を $75$ で因数分解します。

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.5.1.7.2

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.5.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.5.1.9

$5$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 7.5.3

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{- 5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 7.5.4

$- 5$ を $- 1 (5)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - 5 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 7.5.5

$- 1$ を $- 5 i \sqrt{3}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 5 - (5 i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 7.5.6

$- 1$ を $- 1 (5) - (5 i \sqrt{3})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (5 + 5 i \sqrt{3})}{2}$

ステップ 7.5.7

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 7.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 8

多項式は線形因数の集合として書くことができません。

$(x - 5) (x + \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}) (x + \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2})$

ステップ 9

多項式 $x^{3} - 125$ の根（0）です。

$x = 5, - \frac{5 - 5 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{5 + 5 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 10

微分積分学準備 例

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