微分積分学準備例

$5 x^{5} - 36 x^{4} + 62 x^{3} - 46 x^{2} + 57 x - 10$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$

$q = \pm 1, \pm 5$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm \frac{1}{5}, \pm 2, \pm \frac{2}{5}, \pm 5, \pm 10$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

$5 {(2)}^{5} - 36 {(2)}^{4} + 62 {(2)}^{3} - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $x = 2$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$2$ を $5$ 乗します。

$5 \cdot 32 - 36 {(2)}^{4} + 62 {(2)}^{3} - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

ステップ 4.1.2

$5$ に $32$ をかけます。

$160 - 36 {(2)}^{4} + 62 {(2)}^{3} - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

ステップ 4.1.3

$2$ を $4$ 乗します。

$160 - 36 \cdot 16 + 62 {(2)}^{3} - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

ステップ 4.1.4

$- 36$ に $16$ をかけます。

$160 - 576 + 62 {(2)}^{3} - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

ステップ 4.1.5

$2$ を $3$ 乗します。

$160 - 576 + 62 \cdot 8 - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

ステップ 4.1.6

$62$ に $8$ をかけます。

$160 - 576 + 496 - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

ステップ 4.1.7

$2$ を $2$ 乗します。

$160 - 576 + 496 - 46 \cdot 4 + 57 (2) - 10$

ステップ 4.1.8

$- 46$ に $4$ をかけます。

$160 - 576 + 496 - 184 + 57 (2) - 10$

ステップ 4.1.9

$57$ に $2$ をかけます。

$160 - 576 + 496 - 184 + 114 - 10$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.1

$160$ から $576$ を引きます。

$- 416 + 496 - 184 + 114 - 10$

ステップ 4.2.2

$- 416$ と $496$ をたし算します。

$80 - 184 + 114 - 10$

ステップ 4.2.3

$80$ から $184$ を引きます。

$- 104 + 114 - 10$

ステップ 4.2.4

$- 104$ と $114$ をたし算します。

$10 - 10$

ステップ 4.2.5

$10$ から $10$ を引きます。

$0$

ステップ 5

$2$ は既知の根なので、多項式を $x - 2$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{5 x^{5} - 36 x^{4} + 62 x^{3} - 46 x^{2} + 57 x - 10}{x - 2}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$

ステップ 6.2

被除数 $(5)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$

	$5$

ステップ 6.3

結果 $(5)$ の最新の項目に除数 $(2)$ を掛け、 $(10)$ の結果を被除数 $(- 36)$ の隣の項の下に置きます。

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$
	$5$

ステップ 6.4