微分積分学準備例

$t^{4} - 12 t^{2} + 27$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 9, \pm 27$

$q = \pm 1$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 3, \pm 9, \pm 27$

ステップ 3

可能な根を多項式にそれぞれ代入し、実際の根を求めます。簡約し、値が $0$ か、つまり根であるか確認します。

${(3)}^{4} - 12 {(3)}^{2} + 27$

ステップ 4

式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しくなり、 $t = 3$ は多項式の根です。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$3$ を $4$ 乗します。

$81 - 12 {(3)}^{2} + 27$

ステップ 4.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$81 - 12 \cdot 9 + 27$

ステップ 4.1.3

$- 12$ に $9$ をかけます。

$81 - 108 + 27$

ステップ 4.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.1

$81$ から $108$ を引きます。

$- 27 + 27$

ステップ 4.2.2

$- 27$ と $27$ をたし算します。

$0$

ステップ 5

$3$ は既知の根なので、多項式を $t - 3$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{t^{4} - 12 t^{2} + 27}{t - 3}$

ステップ 6

次に、残りの多項式の根を求めます。多項式の次数は $1$ で約分しています。

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ステップ 6.1

除数と被除数を表す数を除法のような配置にします。

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$

ステップ 6.2

被除数 $(1)$ の1番目の数を、結果領域の第1位（水平線の下）に置きます。

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$

	$1$

ステップ 6.3

結果 $(1)$ の最新の項目に除数 $(3)$ を掛け、 $(3)$ の結果を被除数 $(0)$ の隣の項の下に置きます。

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$
	$1$

ステップ 6.4

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$
	$1$	$3$

ステップ 6.5

結果 $(3)$ の最新の項目に除数 $(3)$ を掛け、 $(9)$ の結果を被除数 $(- 12)$ の隣の項の下に置きます。

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$	$9$
	$1$	$3$

ステップ 6.6

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$	$9$
	$1$	$3$	$- 3$

ステップ 6.7

結果 $(- 3)$ の最新の項目に除数 $(3)$ を掛け、 $(- 9)$ の結果を被除数 $(0)$ の隣の項の下に置きます。

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$	$9$	$- 9$
	$1$	$3$	$- 3$

ステップ 6.8

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$	$9$	$- 9$
	$1$	$3$	$- 3$	$- 9$

ステップ 6.9

結果 $(- 9)$ の最新の項目に除数 $(3)$ を掛け、 $(- 27)$ の結果を被除数 $(27)$ の隣の項の下に置きます。

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$	$9$	$- 9$	$- 27$
	$1$	$3$	$- 3$	$- 9$

ステップ 6.10

かけ算の積とわり算した数をたし、結果行の次の位置に結果を記入します。

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$	$9$	$- 9$	$- 27$
	$1$	$3$	$- 3$	$- 9$	$0$

ステップ 6.11

最後の数以外のすべての数は、商の多項式の係数になります。結果行の最後の値は余りです。

$1 t^{3} + 3 t^{2} + (- 3) t - 9$

ステップ 6.12

商の多項式を簡約します。

$t^{3} + 3 t^{2} - 3 t - 9$

ステップ 7

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 7.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(t - 3) (t^{3} + 3 t^{2}) - 3 t - 9$

ステップ 7.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(t - 3) + t^{2} (t + 3) - 3 (t + 3)$

$(t - 3) t^{2} (t + 3) - 3 (t + 3)$

ステップ 8

最大公約数 $t + 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(t - 3) (t + 3) (t^{2} - 3)$

ステップ 9

$u = t^{2}$ を方程式に代入します。これにより二次方程式の解の公式を利用しやすくします。

$u^{2} - 12 u + 27 = 0$

$u = t^{2}$

ステップ 10

たすき掛けを利用して $u^{2} - 12 u + 27$ を因数分解します。

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ステップ 10.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $27$ で、その和が $- 12$ です。

$- 9, - 3$

ステップ 10.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 9) (u - 3) = 0$

ステップ 11

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u - 9 = 0$

$u - 3 = 0$

ステップ 12

$u - 9$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 12.1

$u - 9$ が $0$ に等しいとします。

$u - 9 = 0$

ステップ 12.2

方程式の両辺に $9$ を足します。

$u = 9$

ステップ 13

$u - 3$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 13.1

$u - 3$ が $0$ に等しいとします。

$u - 3 = 0$

ステップ 13.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$u = 3$

ステップ 14

最終解は $(u - 9) (u - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = 9, 3$

ステップ 15

$u = t^{2}$ の実数を解いた方程式に代入して戻します。

$t^{2} = 9$

${(t^{2})}^{1} = 3$

ステップ 16

$t$ について第1方程式を解きます。

$t^{2} = 9$

ステップ 17

$t$ について方程式を解きます。

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ステップ 17.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{9}$

ステップ 17.2

$\pm \sqrt{9}$ を簡約します。

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ステップ 17.2.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$t = \pm \sqrt{3^{2}}$

ステップ 17.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$t = \pm 3$

ステップ 17.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 17.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$t = 3$

ステップ 17.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$t = - 3$

ステップ 17.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$t = 3, - 3$

ステップ 18

$t$ について二次方程式を解きます。

${(t^{2})}^{1} = 3$

ステップ 19

$t$ について方程式を解きます。

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ステップ 19.1

括弧を削除します。

$t^{2} = 3$

ステップ 19.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{3}$

ステップ 19.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 19.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$t = \sqrt{3}$

ステップ 19.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$t = - \sqrt{3}$

ステップ 19.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$t = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 20

$t^{4} - 12 t^{2} + 27 = 0$ の解は $t = 3, - 3, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$ です。

$t = 3, - 3, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 21

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$t = 3, - 3, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

10進法形式：

$t = 3, - 3, 1.73205080 \dots, - 1.73205080 \dots$

ステップ 22

微分積分学準備 例

微分積分学準備例