微分積分学準備例

$4 x^{8} - 13 x^{4} + 9$

ステップ 1

$x^{8}$ を ${(x^{4})}^{2}$ に書き換えます。

$4 {(x^{4})}^{2} - 13 x^{4} + 9$

ステップ 2

$u = x^{4}$ とします。 $u$ を $x^{4}$ に代入します。

$4 u^{2} - 13 u + 9$

ステップ 3

群による因数分解。

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ステップ 3.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 4 \cdot 9 = 36$ で和が $b = - 13$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 3.1.1

$- 13$ を $- 13 u$ で因数分解します。

$4 u^{2} - 13 (u) + 9$

ステップ 3.1.2

$- 13$ を $- 4$ プラス $- 9$ に書き換える

$4 u^{2} + (- 4 - 9) u + 9$

ステップ 3.1.3

分配則を当てはめます。

$4 u^{2} - 4 u - 9 u + 9$

ステップ 3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(4 u^{2} - 4 u) - 9 u + 9$

ステップ 3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$4 u (u - 1) - 9 (u - 1)$

ステップ 3.3

最大公約数 $u - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(u - 1) (4 u - 9)$

ステップ 4

$u$ のすべての発生を $x^{4}$ で置き換えます。

$(x^{4} - 1) (4 x^{4} - 9)$

ステップ 5

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$({(x^{2})}^{2} - 1) (4 x^{4} - 9)$

ステップ 6

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$({(x^{2})}^{2} - 1^{2}) (4 x^{4} - 9)$

ステップ 7

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x^{2}$ であり、 $b = 1$ です。

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 1) (4 x^{4} - 9)$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2}) (4 x^{4} - 9)$

ステップ 8.2

因数分解。

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ステップ 8.2.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$(x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1)) (4 x^{4} - 9)$

ステップ 8.2.2

不要な括弧を削除します。

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (4 x^{4} - 9)$

ステップ 9

$4 x^{4}$ を ${(2 x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) ({(2 x^{2})}^{2} - 9)$

ステップ 10

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) ({(2 x^{2})}^{2} - 3^{2})$

ステップ 11

因数分解。

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ステップ 11.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2 x^{2}$ であり、 $b = 3$ です。

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) ((2 x^{2} + 3) (2 x^{2} - 3))$

ステップ 11.2

不要な括弧を削除します。

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 3) (2 x^{2} - 3)$

微分積分学準備 例

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