微分積分学準備例

$4 a^{2} c^{2} - {(a^{2} - b^{2} + c^{2})}^{2}$

ステップ 1

$4 a^{2} c^{2}$ を ${(2 a c)}^{2}$ に書き換えます。

${(2 a c)}^{2} - {(a^{2} - b^{2} + c^{2})}^{2}$

ステップ 2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2 a c$ であり、 $b = a^{2} - b^{2} + c^{2}$ です。

$(2 a c + a^{2} - b^{2} + c^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

因数分解した形で $2 a c + a^{2} - b^{2} + c^{2}$ を書き換えます。

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ステップ 3.1.1

項を再分類します。

$(- b^{2} + 2 a c + a^{2} + c^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

ステップ 3.1.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 3.1.2.1

項を並べ替えます。

$(- b^{2} + a^{2} + 2 a c + c^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

ステップ 3.1.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 a c = 2 \cdot a \cdot c$

ステップ 3.1.2.3

多項式を書き換えます。

$(- b^{2} + a^{2} + 2 \cdot a \cdot c + c^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

ステップ 3.1.2.4

$a = a$ と $b = c$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$(- b^{2} + {(a + c)}^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

ステップ 3.1.3

$- b^{2}$ と ${(a + c)}^{2}$ を並べ替えます。

$({(a + c)}^{2} - b^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

ステップ 3.1.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = a + c$ であり、 $b = b$ です。

$(a + c + b) (a + c - b) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$(a + c + b) (a + c - b) (2 a c - a^{2} - - b^{2} - c^{2})$

ステップ 3.3

$- - b^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$(a + c + b) (a + c - b) (2 a c - a^{2} + 1 b^{2} - c^{2})$

ステップ 3.3.2

$b^{2}$ に $1$ をかけます。

$(a + c + b) (a + c - b) (2 a c - a^{2} + b^{2} - c^{2})$

ステップ 3.4

因数分解。

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ステップ 3.4.1

因数分解した形で $2 a c - a^{2} + b^{2} - c^{2}$ を書き換えます。

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ステップ 3.4.1.1

項を再分類します。

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} + 2 a c - a^{2} - c^{2})$

ステップ 3.4.1.2

括弧を付けます。

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} + 2 (a c) - a^{2} - c^{2})$

ステップ 3.4.1.3

$u = a c$ とします。 $u$ を $a c$ に代入します。

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} + 2 u - a^{2} - c^{2})$

ステップ 3.4.1.4

$- 1$ を $2 u - a^{2} - c^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.1.4.1

$2 u$ を移動させます。

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - a^{2} - c^{2} + 2 u)$

ステップ 3.4.1.4.2

$- 1$ を $- a^{2}$ で因数分解します。

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2}) - c^{2} + 2 u)$

ステップ 3.4.1.4.3

$- 1$ を $- c^{2}$ で因数分解します。

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2}) - (c^{2}) + 2 u)$

ステップ 3.4.1.4.4

$- 1$ を $2 u$ で因数分解します。

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2}) - (c^{2}) - (- 2 u))$

ステップ 3.4.1.4.5

$- 1$ を $- (a^{2}) - (c^{2})$ で因数分解します。

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} + c^{2}) - (- 2 u))$

ステップ 3.4.1.4.6

$- 1$ を $- (a^{2} + c^{2}) - (- 2 u)$ で因数分解します。

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} + c^{2} - 2 u))$

ステップ 3.4.1.5

$u$ のすべての発生を $a c$ で置き換えます。

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} + c^{2} - 2 (a c)))$

ステップ 3.4.1.6

括弧を削除します。

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} + c^{2} - 2 a c))$

ステップ 3.4.1.7

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 3.4.1.7.1

項を並べ替えます。

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} - 2 a c + c^{2}))$

ステップ 3.4.1.7.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 a c = 2 \cdot a \cdot c$

ステップ 3.4.1.7.3

多項式を書き換えます。

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} - 2 \cdot a \cdot c + c^{2}))$

ステップ 3.4.1.7.4

$a = a$ と $b = c$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - {(a - c)}^{2})$

ステップ 3.4.1.8

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = b$ であり、 $b = a - c$ です。

$(a + c + b) (a + c - b) ((b + a - c) (b - (a - c)))$

ステップ 3.4.1.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.9.1

分配則を当てはめます。

$(a + c + b) (a + c - b) ((b + a - c) (b - a - - c))$

ステップ 3.4.1.9.2

$- - c$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.9.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$(a + c + b) (a + c - b) ((b + a - c) (b - a + 1 c))$

ステップ 3.4.1.9.2.2

$c$ に $1$ をかけます。

$(a + c + b) (a + c - b) ((b + a - c) (b - a + c))$

ステップ 3.4.2

不要な括弧を削除します。

$(a + c + b) (a + c - b) (b + a - c) (b - a + c)$

微分積分学準備 例

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