微分積分学準備例

$3 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x + 8$

ステップ 1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 3$

ステップ 2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 8, \pm 2.\overline{6}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}$

ステップ 3

$- 0.\overline{6}$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 0.\overline{6}$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$- 0.\overline{6}$ を多項式に代入します。

$3 {(- 0.\overline{6})}^{3} - 4 {(- 0.\overline{6})}^{2} + 8 \cdot - 0.\overline{6} + 8$

ステップ 3.2

$- 0.\overline{6}$ を $3$ 乗します。

$3 \cdot - 0.\overline{296} - 4 {(- 0.\overline{6})}^{2} + 8 \cdot - 0.\overline{6} + 8$

ステップ 3.3

$3$ に $- 0.\overline{296}$ をかけます。

$- 0.\overline{8} - 4 {(- 0.\overline{6})}^{2} + 8 \cdot - 0.\overline{6} + 8$

ステップ 3.4

$- 0.\overline{6}$ を $2$ 乗します。

$- 0.\overline{8} - 4 \cdot 0.\overline{4} + 8 \cdot - 0.\overline{6} + 8$

ステップ 3.5

$- 4$ に $0.\overline{4}$ をかけます。

$- 0.\overline{8} - 1.\overline{7} + 8 \cdot - 0.\overline{6} + 8$

ステップ 3.6

$- 0.\overline{8}$ から $1.\overline{7}$ を引きます。

$- 2.\overline{6} + 8 \cdot - 0.\overline{6} + 8$

ステップ 3.7

$8$ に $- 0.\overline{6}$ をかけます。

$- 2.\overline{6} - 5.\overline{3} + 8$

ステップ 3.8

$- 2.\overline{6}$ から $5.\overline{3}$ を引きます。

$- 8 + 8$

ステップ 3.9

$- 8$ と $8$ をたし算します。

$0$

ステップ 4

$- 0.\overline{6}$ は既知の根なので、多項式を $3 x + 2$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{3 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x + 8}{3 x + 2}$

ステップ 5

$3 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x + 8$ を $3 x + 2$ で割ります。

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ステップ 5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$3 x$

$2$

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$8 x$

$8$

ステップ 5.2

被除数 $3 x^{3}$ の最高次項を除数 $3 x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$

ステップ 5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			+	$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

ステップ 5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $3 x^{3} + 2 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

ステップ 5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

ステップ 5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$

ステップ 5.7

被除数 $- 6 x^{2}$ の最高次項を除数 $3 x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$

ステップ 5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$4 x$

ステップ 5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 6 x^{2} - 4 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$4 x$

ステップ 5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$

ステップ 5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$	+	$8$

ステップ 5.12

被除数 $12 x$ の最高次項を除数 $3 x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$	+	$8$

ステップ 5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$	+	$8$
							+	$12 x$	+	$8$

ステップ 5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $12 x + 8$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$	+	$8$
							-	$12 x$	-	$8$

ステップ 5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$4$
$3 x$	+	$2$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$8 x$	+	$8$
			-	$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	+	$8 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$4 x$
							+	$12 x$	+	$8$
							-	$12 x$	-	$8$
										$0$

ステップ 5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - 2 x + 4$

ステップ 6

$3 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x + 8$ を因数の集合として書き換えます。

$(3 x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$

微分積分学準備 例

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