微分積分学準備例

$3 x^{4} + x^{3} - 9 x^{2} - 9 x - 2$

ステップ 1

項を再分類します。

$- 9 x^{2} - 9 x + 3 x^{4} + x^{3} - 2$

ステップ 2

$- 9 x$ を $- 9 x^{2} - 9 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$- 9 x$ を $- 9 x^{2}$ で因数分解します。

$- 9 x (x) - 9 x + 3 x^{4} + x^{3} - 2$

ステップ 2.2

$- 9 x$ を $- 9 x$ で因数分解します。

$- 9 x (x) - 9 x (1) + 3 x^{4} + x^{3} - 2$

ステップ 2.3

$- 9 x$ を $- 9 x (x) - 9 x (1)$ で因数分解します。

$- 9 x (x + 1) + 3 x^{4} + x^{3} - 2$

ステップ 3

有理根検定を用いて $3 x^{4} + x^{3} - 2$ を因数分解します。

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ステップ 3.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 3$

ステップ 3.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}$

ステップ 3.3

$- 1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 1$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$- 1$ を多項式に代入します。

$3 {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3} - 2$

ステップ 3.3.2

$- 1$ を $4$ 乗します。

$3 \cdot 1 + {(- 1)}^{3} - 2$

ステップ 3.3.3

$3$ に $1$ をかけます。

$3 + {(- 1)}^{3} - 2$

ステップ 3.3.4

$- 1$ を $3$ 乗します。

$3 - 1 - 2$

ステップ 3.3.5

$3$ から $1$ を引きます。

$2 - 2$

ステップ 3.3.6

$2$ から $2$ を引きます。

$0$

ステップ 3.4

$- 1$ は既知の根なので、多項式を $x + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{3 x^{4} + x^{3} - 2}{x + 1}$

ステップ 3.5

$3 x^{4} + x^{3} - 2$ を $x + 1$ で割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$2$

ステップ 3.5.2

被除数 $3 x^{4}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$3 x^{3}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$2$

ステップ 3.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

$3 x^{3}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

ステップ 3.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $3 x^{4} + 3 x^{3}$ の符号をすべて変更します。

$3 x^{3}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

ステップ 3.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$3 x^{3}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{3}$

ステップ 3.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$3 x^{3}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

ステップ 3.5.7

被除数 $- 2 x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

ステップ 3.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

ステップ 3.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 2 x^{3} - 2 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

ステップ 3.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

ステップ 3.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

ステップ 3.5.12

被除数 $2 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

ステップ 3.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

ステップ 3.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $2 x^{2} + 2 x$ の符号をすべて変更します。

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

ステップ 3.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

ステップ 3.5.16

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2$

ステップ 3.5.17

被除数 $- 2 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2$

ステップ 3.5.18

新しい商の項に除数を掛けます。

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2$

$2 x$

$2$

ステップ 3.5.19

式は被除数から引く必要があるので、 $- 2 x - 2$ の符号をすべて変更します。

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2$

$2 x$

$2$

ステップ 3.5.20

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2$

$x$

$1$

$3 x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$2$

$3 x^{4}$

$3 x^{3}$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$2 x^{2}$

$2 x$

$2$

$2 x$

$2$

$0$

ステップ 3.5.21

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$3 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2$

ステップ 3.6

$3 x^{4} + x^{3} - 2$ を因数の集合として書き換えます。

$- 9 x (x + 1) + (x + 1) (3 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2)$

ステップ 4

$x + 1$ を $- 9 x (x + 1) + (x + 1) (3 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$x + 1$ を $- 9 x (x + 1)$ で因数分解します。

$(x + 1) (- 9 x) + (x + 1) (3 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2)$

ステップ 4.2

$x + 1$ を $(x + 1) (- 9 x) + (x + 1) (3 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2)$ で因数分解します。

$(x + 1) (- 9 x + 3 x^{3} - 2 x^{2} + 2 x - 2)$

ステップ 5

$- 9 x$ と $2 x$ をたし算します。

$(x + 1) (3 x^{3} - 2 x^{2} - 7 x - 2)$

ステップ 6

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

因数分解した形で $3 x^{3} - 2 x^{2} - 7 x - 2$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1

有理根検定を用いて $3 x^{3} - 2 x^{2} - 7 x - 2$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 3$

ステップ 6.1.1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}$

ステップ 6.1.1.3

$- 1$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 1$ は多項式の根です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.1.3.1

$- 1$ を多項式に代入します。

$3 {(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} - 7 \cdot - 1 - 2$

ステップ 6.1.1.3.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$3 \cdot - 1 - 2 {(- 1)}^{2} - 7 \cdot - 1 - 2$

ステップ 6.1.1.3.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$- 3 - 2 {(- 1)}^{2} - 7 \cdot - 1 - 2$

ステップ 6.1.1.3.4

$- 1$ を $2$ 乗します。

$- 3 - 2 \cdot 1 - 7 \cdot - 1 - 2$

ステップ 6.1.1.3.5

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 3 - 2 - 7 \cdot - 1 - 2$

ステップ 6.1.1.3.6

$- 3$ から $2$ を引きます。

$- 5 - 7 \cdot - 1 - 2$

ステップ 6.1.1.3.7

$- 7$ に $- 1$ をかけます。

$- 5 + 7 - 2$

ステップ 6.1.1.3.8

$- 5$ と $7$ をたし算します。

$2 - 2$

ステップ 6.1.1.3.9

$2$ から $2$ を引きます。

$0$

ステップ 6.1.1.4

$- 1$ は既知の根なので、多項式を $x + 1$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{3 x^{3} - 2 x^{2} - 7 x - 2}{x + 1}$

ステップ 6.1.1.5

$3 x^{3} - 2 x^{2} - 7 x - 2$ を $x + 1$ で割ります。

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ステップ 6.1.1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$1$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$7 x$

$2$

ステップ 6.1.1.5.2

被除数 $3 x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$3 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$

ステップ 6.1.1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
			+	$3 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

ステップ 6.1.1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $3 x^{3} + 3 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

ステップ 6.1.1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

ステップ 6.1.1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$3 x^{2}$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$

ステップ 6.1.1.5.7

被除数 $- 5 x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$3 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$

ステップ 6.1.1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$3 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$5 x$

ステップ 6.1.1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- 5 x^{2} - 5 x$ の符号をすべて変更します。

				$3 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$

ステップ 6.1.1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$3 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$2 x$

ステップ 6.1.1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$3 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$2 x$	-	$2$

ステップ 6.1.1.5.12

被除数 $- 2 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$3 x^{2}$	-	$5 x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$2 x$	-	$2$

ステップ 6.1.1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$3 x^{2}$	-	$5 x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

ステップ 6.1.1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 2 x - 2$ の符号をすべて変更します。

				$3 x^{2}$	-	$5 x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

ステップ 6.1.1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$3 x^{2}$	-	$5 x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$3 x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$7 x$	-	$2$
			-	$3 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							-	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	+	$2$
										$0$

ステップ 6.1.1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$3 x^{2} - 5 x - 2$

ステップ 6.1.1.6

$3 x^{3} - 2 x^{2} - 7 x - 2$ を因数の集合として書き換えます。

$(x + 1) ((x + 1) (3 x^{2} - 5 x - 2))$

ステップ 6.1.2

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot - 2 = - 6$ で和が $b = - 5$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1.1.1

$- 5$ を $- 5 x$ で因数分解します。

$(x + 1) ((x + 1) (3 x^{2} - 5 (x) - 2))$

ステップ 6.1.2.1.1.2

$- 5$ を $1$ プラス $- 6$ に書き換える

$(x + 1) ((x + 1) (3 x^{2} + (1 - 6) x - 2))$

ステップ 6.1.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$(x + 1) ((x + 1) (3 x^{2} + 1 x - 6 x - 2))$

ステップ 6.1.2.1.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$(x + 1) ((x + 1) (3 x^{2} + x - 6 x - 2))$

ステップ 6.1.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(x + 1) ((x + 1) ((3 x^{2} + x) - 6 x - 2))$

ステップ 6.1.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$(x + 1) ((x + 1) (x (3 x + 1) - 2 (3 x + 1)))$

ステップ 6.1.2.1.3

最大公約数 $3 x + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(x + 1) ((x + 1) ((3 x + 1) (x - 2)))$

ステップ 6.1.2.2

不要な括弧を削除します。

$(x + 1) ((x + 1) (3 x + 1) (x - 2))$

ステップ 6.2

不要な括弧を削除します。

$(x + 1) (x + 1) (3 x + 1) (x - 2)$

ステップ 7

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$x + 1$ を $1$ 乗します。

${(x + 1)}^{1} (x + 1) (3 x + 1) (x - 2)$

ステップ 7.2

$x + 1$ を $1$ 乗します。

${(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1} (3 x + 1) (x - 2)$

ステップ 7.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${(x + 1)}^{1 + 1} (3 x + 1) (x - 2)$

ステップ 7.4

$1$ と $1$ をたし算します。

${(x + 1)}^{2} (3 x + 1) (x - 2)$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例